Theorem ensn1g 4406

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 2407	. . 3 |- (x = A -> {x} = {A})
2	1	breq1d 2619	. 2 |- (x = A -> ({x} ~~ 1o <-> {A} ~~ 1o))
3		visset 1804	. . 3 |- x e. V
4	3	ensn1 4405	. 2 |- {x} ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 1838	1 |- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  {csn 2399   class class class wbr 2609  1oc1o 4112   ~~ cen 4348

This theorem is referenced by:  en2sn 4412  snfi 4413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-1o 4117  df-en 4351

Copyright terms: Public domain