Theorem ensn1 4430

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- {A} ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. V
2		0ex 2716	. . . . 5 |- (/) e. V
3	1, 2	f1osn 3725	. . . 4 |- {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}
4		snex 2756	. . . . 5 |- {<.A, (/)>.} e. V
5		f1oeq1 3690	. . . . 5 |- (f = {<.A, (/)>.} -> (f:{A}-1-1-onto->{(/)} <-> {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}))
6	4, 5	cla4ev 1872	. . . 4 |- ({<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)} -> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
7	3, 6	ax-mp 7	. . 3 |- E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)}
8		p0ex 2776	. . . 4 |- {(/)} e. V
9	8	bren 4383	. . 3 |- ({A} ~~ {(/)} <-> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
10	7, 9	mpbir 190	. 2 |- {A} ~~ {(/)}
11		df1o2 4146	. 2 |- 1o = {(/)}
12	10, 11	breqtrr 2645	1 |- {A} ~~ 1o

Syntax hints:   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814  (/)c0 2283  {csn 2413  <.cop 2415   class class class wbr 2624  -1-1-onto->wf1o 3187  1oc1o 4134   ~~ cen 4370

This theorem is referenced by:  ensn1g 4431  en1 4432  0sdom1dom 4530  pm54.43 4581  sucxpdom 4857  cda1en 4938  infpss 7575  boe 10450  top1 10533  top2ind 10534  top2usne 10535  homindlem2 10536

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-1o 4139  df-en 4374

Copyright terms: Public domain