Theorem enqer 5046

Description: The equivalence relation for positive fractions is an equivalence relation. Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117.

Assertion

Ref	Expression
enqer	|- Er ~Q

Proof of Theorem enqer

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq 5037	. 2 |- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
2		visset 1813	. . 3 |- x e. V
3		visset 1813	. . 3 |- y e. V
4	2, 3	mulcompi 5024	. 2 |- (x .N y) = (y .N x)
5		mulclpi 5021	. 2 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> (x .N y) e. N.)
6		visset 1813	. . 3 |- z e. V
7	3, 6	mulasspi 5025	. 2 |- ((x .N y) .N z) = (x .N (y .N z))
8	6	mulcanpi 5027	. 2 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> ((x .N y) = (x .N z) -> y = z))
9	1, 4, 5, 7, 8	ecopoprer 4312	1 |- Er ~Q

Syntax hints:  Er wer 4258  N.cnpi 4972   .N cmi 4974   ~Q ceq 4978

This theorem is referenced by:  enqeceq 5047  addpipq 5054  mulpipq 5055  ordpipq 5056  distrpqlem 5066

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ni 5000  df-mi 5002  df-enq 5037

Copyright terms: Public domain