Theorem endomtr 4410

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance.

Assertion

Ref	Expression
endomtr	|- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 4405	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)
2		endom 4375	. 2 |- (A ~~ B -> A ~<_ B)
3	1, 2	sylan 448	1 |- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   class class class wbr 2615   ~~ cen 4357   ~<_ cdom 4358

This theorem is referenced by:  undom 4427  xpdom1 4432  xpdom3 4434  ensdomtr 4460  domsdomtr 4465  domen1 4468  mapdom1 4481  mapdom2 4483  php 4502  onomeneq 4507  0sdom1dom 4513  isfinite1 4519  carddomi 4818  cdadom2 4917  xpnnen 7458  infxpidmlem1 7512  infdif 7528

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-en 4360  df-dom 4361

Copyright terms: Public domain