Theorem en2lp 4611

Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206.

Assertion

Ref	Expression
en2lp	|- -. (A e. B /\ B e. A)

Proof of Theorem en2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. y <-> A e. y))
2		eleq2 1538	. . . . 5 |- (x = A -> (y e. x <-> y e. A))
3	1, 2	anbi12d 630	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. y /\ y e. x) <-> (A e. y /\ y e. A)))
4	3	negbid 613	. . 3 |- (x = A -> (-. (x e. y /\ y e. x) <-> -. (A e. y /\ y e. A)))
5		eleq2 1538	. . . . 5 |- (y = B -> (A e. y <-> A e. B))
6		eleq1 1537	. . . . 5 |- (y = B -> (y e. A <-> B e. A))
7	5, 6	anbi12d 630	. . . 4 |- (y = B -> ((A e. y /\ y e. A) <-> (A e. B /\ B e. A)))
8	7	negbid 613	. . 3 |- (y = B -> (-. (A e. y /\ y e. A) <-> -. (A e. B /\ B e. A)))
9		zfregfr 4610	. . . 4 |- E Fr V
10		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
11		visset 1816	. . . . 5 |- y e. V
12	10, 11	pm3.2i 285	. . . 4 |- (x e. V /\ y e. V)
13		efrn2lp 2935	. . . 4 |- ((E Fr V /\ (x e. V /\ y e. V)) -> -. (x e. y /\ y e. x))
14	9, 12, 13	mp2an 699	. . 3 |- -. (x e. y /\ y e. x)
15	4, 8, 14	vtocl2g 1853	. 2 |- ((A e. V /\ B e. V) -> -. (A e. B /\ B e. A))
16		elisset 1820	. . . 4 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1820	. . . 4 |- (B e. A -> B e. V)
18	16, 17	anim12i 333	. . 3 |- ((A e. B /\ B e. A) -> (A e. V /\ B e. V))
19	18	con3i 98	. 2 |- (-. (A e. V /\ B e. V) -> -. (A e. B /\ B e. A))
20	15, 19	pm2.61i 126	1 |- -. (A e. B /\ B e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  Ecep 2836   Fr wfr 2921

This theorem is referenced by:  preleq 4612  suc11reg 4614  axunndlem1 4959  axacndlem5 4975

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-reg 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-eprel 2838  df-fr 2923

Copyright terms: Public domain