Theorem elz 6084

Description: Membership in the set of integers.

Assertion

Ref	Expression
elz	|- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))

Proof of Theorem elz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 1473	. . 3 |- (x = N -> (x = 0 <-> N = 0))
2		eleq1 1526	. . 3 |- (x = N -> (x e. NN <-> N e. NN))
3		negeq 5331	. . . 4 |- (x = N -> -ux = -uN)
4	3	eleq1d 1532	. . 3 |- (x = N -> (-ux e. NN <-> -uN e. NN))
5	1, 2, 4	3orbi123d 889	. 2 |- (x = N -> ((x = 0 \/ x e. NN \/ -ux e. NN) <-> (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))
6		df-z 6083	. 2 |- ZZ = {x e. RR | (x = 0 \/ x e. NN \/ -ux e. NN)}
7	5, 6	elrab2 1898	1 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   \/ w3o 772   = wceq 953   e. wcel 955  RRcr 5205  0cc0 5206  -ucneg 5265  NNcn 5268  ZZcz 5270

This theorem is referenced by:  nnnegz 6085  zret 6086  elnnz 6092  0z 6093  elznn0nn 6095  elznn0 6096  elznn 6097  elnnz1 6102  znegclt 6110  zeot 6146

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188  df-opr 3950  df-neg 5330  df-z 6083

Copyright terms: Public domain