Theorem elxp4 3453

Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 3454, elxp6 4102, and elxp7 4103.

Assertion

Ref	Expression
elxp4	|- (A e. (B X. C) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Proof of Theorem elxp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3202	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
2		sneq 2417	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = <.x, y>. -> {A} = {<.x, y>.})
3	2	rneqd 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (A = <.x, y>. -> ran { A} = ran {<.x, y>.})
4	3	unieqd 2512	. . . . . . . . . 10 |- (A = <.x, y>. -> U.ran { A} = U.ran {<.x, y>.})
5		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
6		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
7	5, 6	op2nda 3452	. . . . . . . . . 10 |- U.ran {<.x, y>.} = y
8	4, 7	syl6req 1524	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x, y>. -> y = U.ran { A})
9	8	pm4.71ri 638	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, y>. <-> (y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.))
10	9	anbi1i 481	. . . . . . 7 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> ((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)))
11		anass 439	. . . . . . 7 |- (((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
13	12	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
14		snex 2750	. . . . . . . 8 |- {A} e. V
15	14	rnex 3361	. . . . . . 7 |- ran { A} e. V
16	15	uniex 2870	. . . . . 6 |- U.ran { A} e. V
17		opeq2 2488	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> <.x, y>. = <.x, U.ran { A}>.)
18	17	eqeq2d 1486	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> (A = <.x, y>. <-> A = <.x, U.ran { A}>.))
19		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> (y e. C <-> U.ran { A} e. C))
20	19	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> ((x e. B /\ y e. C) <-> (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
21	18, 20	anbi12d 628	. . . . . 6 |- (y = U.ran { A} -> ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
22	16, 21	ceqsexv 1835	. . . . 5 |- (E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
23	13, 22	bitr 173	. . . 4 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
24		sneq 2417	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> {A} = {<.x, U.ran { A}>.})
25	24	dmeqd 3313	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> dom { A} = dom {<.x, U.ran { A}>.})
26	25	unieqd 2512	. . . . . . 7 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> U.dom { A} = U.dom {<.x, U.ran { A}>.})
27	5	op1sta 3448	. . . . . . 7 |- U.dom {<.x, U.ran { A}>.} = x
28	26, 27	syl6req 1524	. . . . . 6 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> x = U.dom { A})
29	28	pm4.71ri 638	. . . . 5 |- (A = <.x, U.ran { A}>. <-> (x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.))
30	29	anbi1i 481	. . . 4 |- ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> ((x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
31		anass 439	. . . 4 |- (((x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
32	23, 30, 31	3bitr 177	. . 3 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
33	32	exbii 1051	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.x(x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
34	14	dmex 3360	. . . 4 |- dom { A} e. V
35	34	uniex 2870	. . 3 |- U.dom { A} e. V
36		opeq1 2487	. . . . 5 |- (x = U.dom { A} -> <.x, U.ran { A}>. = <.U.dom { A}, U.ran { A}>.)
37	36	eqeq2d 1486	. . . 4 |- (x = U.dom { A} -> (A = <.x, U.ran { A}>. <-> A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>.))
38		eleq1 1534	. . . . 5 |- (x = U.dom { A} -> (x e. B <-> U.dom { A} e. B))
39	38	anbi1d 617	. . . 4 |- (x = U.dom { A} -> ((x e. B /\ U.ran { A} e. C) <-> (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))
40	37, 39	anbi12d 628	. . 3 |- (x = U.dom { A} -> ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C))))
41	35, 40	ceqsexv 1835	. 2 |- (E.x(x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))
42	1, 33, 41	3bitr 177	1 |- (A e. (B X. C) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {csn 2409  <.cop 2411  U.cuni 2503   X. cxp 3168  dom cdm 3170  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  elxp6 4102  xpdom2 4442  xpmapenlem3 4498  xpmapenlem5 4500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain