Theorem elxp3 3230

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp3	|- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3208	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
2		eqcom 1480	. . . 4 |- (<.x, y>. = A <-> A = <.x, y>.)
3		visset 1816	. . . . 5 |- y e. V
4	3	opelxp 3220	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (B X. C) <-> (x e. B /\ y e. C))
5	2, 4	anbi12i 484	. . 3 |- ((<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
6	5	2exbii 1054	. 2 |- (E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
7	1, 6	bitr4 176	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415   X. cxp 3174

This theorem is referenced by:  optocl 3241  unixp0 3524

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190

Copyright terms: Public domain