Theorem elvvuni 3229

Description: An ordered pair contains its union.

Assertion

Ref	Expression
elvvuni	|- (A e. (V X. V) -> U.A e. A)

Proof of Theorem elvvuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 3228	. 2 |- (A e. (V X. V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)
2		uniop 2808	. . . . 5 |- U.<.x, y>. = {x, y}
3		opi2 2785	. . . . 5 |- {x, y} e. <.x, y>.
4	2, 3	eqeltr 1544	. . . 4 |- U.<.x, y>. e. <.x, y>.
5		unieq 2510	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> U.A = U.<.x, y>.)
6		id 59	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> A = <.x, y>.)
7	5, 6	eleq12d 1542	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (U.A e. A <-> U.<.x, y>. e. <.x, y>.))
8	4, 7	mpbiri 194	. . 3 |- (A = <.x, y>. -> U.A e. A)
9	8	19.23aivv 1296	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. -> U.A e. A)
10	1, 9	sylbi 199	1 |- (A e. (V X. V) -> U.A e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  {cpr 2410  <.cop 2411  U.cuni 2503   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  unielxp 4107

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-opab 2667  df-xp 3184

Copyright terms: Public domain