Theorem elvv 3234

Description: Membership in universal class of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
elvv	|- (A e. (V X. V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3208	. 2 |- (A e. (V X. V) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. V /\ y e. V)))
2		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
3		visset 1816	. . . . 5 |- y e. V
4	2, 3	pm3.2i 285	. . . 4 |- (x e. V /\ y e. V)
5	4	biantru 726	. . 3 |- (A = <.x, y>. <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. V /\ y e. V)))
6	5	2exbii 1054	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. V /\ y e. V)))
7	1, 6	bitr4 176	1 |- (A e. (V X. V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814  <.cop 2415   X. cxp 3174

This theorem is referenced by:  elvvuni 3235  xpss 3236  onxpdisj 3247  ssrel 3253  elrel 3259  relop 3281  elreldm 3344  1stval2 4095  2ndval2 4096  1st2val 4101  2nd2val 4102  dfopab2 4119  dfoprab3 4120  fundmen 4434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190

Copyright terms: Public domain