Theorem eltg3t 7626

Description: Membership in a topology generated by a basis.

Assertion

Ref	Expression
eltg3t	|- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> E.x(x (_ B /\ A = U.x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem eltg3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval3t 7625	. . 3 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {y | E.x(x (_ B /\ y = U.x)})
2	1	eleq2d 1541	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> A e. {y | E.x(x (_ B /\ y = U.x)}))
3		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
4	3	uniex 2870	. . . . . 6 |- U.x e. V
5		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (A = U.x -> (A e. V <-> U.x e. V))
6	4, 5	mpbiri 194	. . . . 5 |- (A = U.x -> A e. V)
7	6	adantl 388	. . . 4 |- ((x (_ B /\ A = U.x) -> A e. V)
8	7	19.23aiv 1295	. . 3 |- (E.x(x (_ B /\ A = U.x) -> A e. V)
9		eqeq1 1481	. . . . 5 |- (y = A -> (y = U.x <-> A = U.x))
10	9	anbi2d 616	. . . 4 |- (y = A -> ((x (_ B /\ y = U.x) <-> (x (_ B /\ A = U.x)))
11	10	exbidv 1279	. . 3 |- (y = A -> (E.x(x (_ B /\ y = U.x) <-> E.x(x (_ B /\ A = U.x)))
12	8, 11	elab3 1903	. 2 |- (A e. {y | E.x(x (_ B /\ y = U.x)} <-> E.x(x (_ B /\ A = U.x))
13	2, 12	syl6bb 536	1 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> E.x(x (_ B /\ A = U.x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem is referenced by:  tgtopt 7628  eltop3t 7631  basgen2t 7639  bastop 7642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain