Theorem eltg2t 7619

Description: Membership in a topology generated by a basis.

Assertion

Ref	Expression
eltg2t	|- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eltg2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval2t 7617	. . 3 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))})
2	1	eleq2d 1541	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))}))
3		elisset 1817	. . . 4 |- (A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))} -> A e. V)
4	3	adantl 388	. . 3 |- ((B e. Bases /\ A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))}) -> A e. V)
5		ssexg 2721	. . . . . 6 |- ((A (_ U.B /\ U.B e. V) -> A e. V)
6		uniexg 2871	. . . . . 6 |- (B e. Bases -> U.B e. V)
7	5, 6	sylan2 451	. . . . 5 |- ((A (_ U.B /\ B e. Bases) -> A e. V)
8	7	ancoms 436	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ A (_ U.B) -> A e. V)
9	8	adantrr 395	. . 3 |- ((B e. Bases /\ (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))) -> A e. V)
10		sseq1 2082	. . . . 5 |- (z = A -> (z (_ U.B <-> A (_ U.B))
11		sseq2 2083	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (y (_ z <-> y (_ A))
12	11	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (z = A -> ((x e. y /\ y (_ z) <-> (x e. y /\ y (_ A)))
13	12	rexbidv 1664	. . . . . 6 |- (z = A -> (E.y e. B (x e. y /\ y (_ z) <-> E.y e. B (x e. y /\ y (_ A)))
14	13	raleqd 1791	. . . . 5 |- (z = A -> (A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z) <-> A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A)))
15	10, 14	anbi12d 628	. . . 4 |- (z = A -> ((z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z)) <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))
16	15	elabg 1899	. . 3 |- (A e. V -> (A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))} <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))
17	4, 9, 16	pm5.21nd 680	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))} <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))
18	2, 17	bitrd 528	1 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem is referenced by:  tg1t 7620  tg2t 7621  tgclt 7624  tgval3t 7625  eltop2t 7630  tgss2t 7637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain