Theorem elspansn4t 9496

Description: A span membership condition implying two vectors belong to the same subspace.

Assertion

Ref	Expression
elspansn4t	|- (((A e. SH /\ B e. H~) /\ (C e. (span` {B}) /\ C =/= 0h)) -> (B e. A <-> C e. A))

Proof of Theorem elspansn4t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn3t 9495	. . . . . 6 |- ((A e. SH /\ B e. A /\ C e. (span` {B})) -> C e. A)
2	1	3exp 832	. . . . 5 |- (A e. SH -> (B e. A -> (C e. (span` {B}) -> C e. A)))
3	2	com23 32	. . . 4 |- (A e. SH -> (C e. (span` {B}) -> (B e. A -> C e. A)))
4	3	imp 350	. . 3 |- ((A e. SH /\ C e. (span` {B})) -> (B e. A -> C e. A))
5	4	ad2ant2r 409	. 2 |- (((A e. SH /\ B e. H~) /\ (C e. (span` {B}) /\ C =/= 0h)) -> (B e. A -> C e. A))
6		elspansn3t 9495	. . . . . . . . 9 |- ((A e. SH /\ C e. A /\ B e. (span` {C})) -> B e. A)
7	6	3expia 835	. . . . . . . 8 |- ((A e. SH /\ C e. A) -> (B e. (span` {C}) -> B e. A))
8		spansnid 9486	. . . . . . . . . 10 |- (B e. H~ -> B e. (span` {B}))
9	8	ad2antrr 404	. . . . . . . . 9 |- (((B e. H~ /\ C =/= 0h) /\ C e. (span` {B})) -> B e. (span` {B}))
10		spansneleq 9493	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. H~ /\ C =/= 0h) -> (C e. (span` {B}) -> (span` {C}) = (span` {B})))
11	10	imp 350	. . . . . . . . 9 |- (((B e. H~ /\ C =/= 0h) /\ C e. (span` {B})) -> (span` {C}) = (span` {B}))
12	9, 11	eleqtrrd 1551	. . . . . . . 8 |- (((B e. H~ /\ C =/= 0h) /\ C e. (span` {B})) -> B e. (span` {C}))
13	7, 12	syl5 21	. . . . . . 7 |- ((A e. SH /\ C e. A) -> (((B e. H~ /\ C =/= 0h) /\ C e. (span` {B})) -> B e. A))
14	13	exp4b 379	. . . . . 6 |- (A e. SH -> (C e. A -> ((B e. H~ /\ C =/= 0h) -> (C e. (span` {B}) -> B e. A))))
15	14	com24 37	. . . . 5 |- (A e. SH -> (C e. (span` {B}) -> ((B e. H~ /\ C =/= 0h) -> (C e. A -> B e. A))))
16	15	exp4a 378	. . . 4 |- (A e. SH -> (C e. (span` {B}) -> (B e. H~ -> (C =/= 0h -> (C e. A -> B e. A)))))
17	16	com23 32	. . 3 |- (A e. SH -> (B e. H~ -> (C e. (span` {B}) -> (C =/= 0h -> (C e. A -> B e. A)))))
18	17	imp43 370	. 2 |- (((A e. SH /\ B e. H~) /\ (C e. (span` {B}) /\ C =/= 0h)) -> (C e. A -> B e. A))
19	5, 18	impbid 516	1 |- (((A e. SH /\ B e. H~) /\ (C e. (span` {B}) /\ C =/= 0h)) -> (B e. A <-> C e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  {csn 2409  ` cfv 3182  H~chil 8788  0hc0v 8791  SHcsh 8797  spancspn 8801

This theorem is referenced by:  elspansn5t 9497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-hlim 8841  df-hcau 8842  df-sh 9076  df-ch 9092  df-oc 9124  df-ch0 9125  df-span 9274

Copyright terms: Public domain