Theorem elspan 9466

Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space.

Hypothesis

Ref	Expression
elspan.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
elspan	|- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem elspan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanvalt 9299	. . 3 |- (A (_ H~ -> (span` A) = |^|{x e. SH | A (_ x})
2	1	eleq2d 1541	. 2 |- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> B e. |^|{x e. SH | A (_ x}))
3		elspan.1	. . 3 |- B e. V
4	3	elintrab 2545	. 2 |- (B e. |^|{x e. SH | A (_ x} <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x))
5	2, 4	syl6bb 536	1 |- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 958  A.wral 1645  {crab 1648  Vcvv 1811   (_ wss 2047  |^|cint 2533  ` cfv 3182  H~chil 8788  SHcsh 8797  spancspn 8801

This theorem is referenced by:  spanun 9467  spansn 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-hlim 8841  df-sh 9076  df-ch 9092  df-span 9274

Copyright terms: Public domain