Theorem elrnoprab 4131

Description: Membership in the range of an operation class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
elrnoprab.1	|- C e. V
elrnoprab.2	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ z = C)}

Assertion

Ref	Expression
elrnoprab	|- (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   z,C   x,D,y

Proof of Theorem elrnoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnoprab.2	. . 3 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ z = C)}
2	1	elrnoprabg 4130	. 2 |- (A.x e. A A.y e. B C e. V -> (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C))
3		elrnoprab.1	. . . . 5 |- C e. V
4	3	a1i 8	. . . 4 |- (y e. B -> C e. V)
5	4	rgen 1701	. . 3 |- A.y e. B C e. V
6	5	a1i 8	. 2 |- (x e. A -> A.y e. B C e. V)
7	2, 6	mprg 1703	1 |- (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814  ran crn 3177  {copab2 3970

This theorem is referenced by:  unxpdomlem 4854  qnnen 7504  qdensere 7748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086

Copyright terms: Public domain