Theorem elrn2 3349

Description: Membership in a range.

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
elrn2	|- (A e. ran B <-> E.x<.x, A>. e. B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem elrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. 2 |- A e. V
2		opeq2 2488	. . . 4 |- (y = A -> <.x, y>. = <.x, A>.)
3	2	eleq1d 1540	. . 3 |- (y = A -> (<.x, y>. e. B <-> <.x, A>. e. B))
4	3	exbidv 1279	. 2 |- (y = A -> (E.x<.x, y>. e. B <-> E.x<.x, A>. e. B))
5		dfrn3 3304	. 2 |- ran B = {y | E.x<.x, y>. e. B}
6	1, 4, 5	elab2 1901	1 |- (A e. ran B <-> E.x<.x, A>. e. B)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  <.cop 2411  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  elrn 3350  hbrn 3351  dmrnssfld 3357  rnuni 3459  ssrnres 3481  rninxp 3482  relssdr 3513  fvelrn 3812  tz7.48-1 3956  2nd2val 4096

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain