Theorem elreal 5222

Description: Membership in class of real numbers.

Assertion

Ref	Expression
elreal	|- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem elreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 5216	. . 3 |- RR = (R. X. {0R})
2	1	eleq2i 1530	. 2 |- (A e. RR <-> A e. (R. X. {0R}))
3		elxp 3192	. 2 |- (A e. (R. X. {0R}) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})))
4		ancom 435	. . . . . . 7 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> ((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.))
5		anass 439	. . . . . . . 8 |- (((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.) <-> (x e. R. /\ (y e. {0R} /\ A = <.x, y>.)))
6		elsn 2411	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. {0R} <-> y = 0R)
7		eqcom 1469	. . . . . . . . . . 11 |- (A = <.x, y>. <-> <.x, y>. = A)
8	6, 7	anbi12i 481	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. {0R} /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ <.x, y>. = A))
9		opeq2 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = 0R -> <.x, y>. = <.x, 0R>.)
10	9	eqeq1d 1475	. . . . . . . . . . 11 |- (y = 0R -> (<.x, y>. = A <-> <.x, 0R>. = A))
11	10	pm5.32i 643	. . . . . . . . . 10 |- ((y = 0R /\ <.x, y>. = A) <-> (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A))
12	8, 11	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- ((y e. {0R} /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A))
13	12	anbi2i 479	. . . . . . . 8 |- ((x e. R. /\ (y e. {0R} /\ A = <.x, y>.)) <-> (x e. R. /\ (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A)))
14		an12 483	. . . . . . . 8 |- ((x e. R. /\ (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A)) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
15	5, 13, 14	3bitr 177	. . . . . . 7 |- (((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
16	4, 15	bitr 173	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
17	16	exbii 1047	. . . . 5 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> E.y(y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
18		19.41v 1300	. . . . 5 |- (E.y(y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)) <-> (E.y y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
19	17, 18	bitr 173	. . . 4 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (E.y y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
20		0r 5161	. . . . . 6 |- 0R e. R.
21	20	elisseti 1809	. . . . 5 |- 0R e. V
22	21	isseti 1806	. . . 4 |- E.y y = 0R
23	19, 22	mpbiran 726	. . 3 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
24	23	exbii 1047	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
25	2, 3, 24	3bitr 177	1 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {csn 2399  <.cop 2401   X. cxp 3158  R.cnr 4965  0Rc0r 4966  RRcr 5205

This theorem is referenced by:  suprelem 5231  supre 5232  ltsor 5233  axaddrcl 5244  axmulrcl 5246  axrnegex 5255  axrrecex 5256  pre-axltadd 5261  pre-axmulgt0 5262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-enr 5138  df-nr 5139  df-0r 5143  df-r 5216

Copyright terms: Public domain