Theorem elq 6146

Description: Membership in the set of rationals.

Assertion

Ref	Expression
elq	|- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 6145	. . 3 |- QQ = {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)}
2	1	eleq2i 1514	. 2 |- (A e. QQ <-> A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)})
3		oprex 3922	. . . . . . . 8 |- (x / y) e. V
4		eleq1 1510	. . . . . . . 8 |- (A = (x / y) -> (A e. V <-> (x / y) e. V))
5	3, 4	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- (A = (x / y) -> A e. V)
6	5	a1i 8	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (A = (x / y) -> A e. V))
7	6	r19.23aiv 1719	. . . . 5 |- (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V)
8	7	a1i 8	. . . 4 |- (x e. ZZ -> (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V))
9	8	r19.23aiv 1719	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V)
10		eqeq1 1457	. . . 4 |- (z = A -> (z = (x / y) <-> A = (x / y)))
11	10	2rexbidv 1657	. . 3 |- (z = A -> (E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y) <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y)))
12	9, 11	elab3 1875	. 2 |- (A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)} <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
13	2, 12	bitr 173	1 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 1099   e. wcel 1105  {cab 1440  E.wrex 1622  Vcvv 1786  (class class class)co 3902   / cdiv 5217  NNcn 5219  ZZcz 5221  QQcq 5222

This theorem is referenced by:  znq 6147  qret 6148  zqt 6149  qaddclt 6158  qnegclt 6159  qmulclt 6160  qrecclt 6162  sqr2irr 6610  eirr 7286  qnnen 7397  ipasslem5 8360

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-uni 2472  df-fv 3161  df-opr 3904  df-q 6145

Copyright terms: Public domain