Theorem elopab 2807

Description: Membership in a class abstraction of pairs.

Assertion

Ref	Expression
elopab	|- (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))

Distinct variable groups:   x,A   y,A

Proof of Theorem elopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1814	. 2 |- (A e. {<.x, y>. | ph} -> A e. V)
2		opex 2778	. . . . 5 |- <.x, y>. e. V
3		eleq1 1532	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> (A e. V <-> <.x, y>. e. V))
4	2, 3	mpbiri 194	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> A e. V)
5	4	adantr 389	. . 3 |- ((A = <.x, y>. /\ ph) -> A e. V)
6	5	19.23aivv 1295	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph) -> A e. V)
7		eleq1 1532	. . 3 |- (z = A -> (z e. {<.x, y>. | ph} <-> A e. {<.x, y>. | ph}))
8		eqeq1 1479	. . . . 5 |- (z = A -> (z = <.x, y>. <-> A = <.x, y>.))
9	8	anbi1d 616	. . . 4 |- (z = A -> ((z = <.x, y>. /\ ph) <-> (A = <.x, y>. /\ ph)))
10	9	2exbidv 1280	. . 3 |- (z = A -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))
11		df-opab 2663	. . . 4 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
12	11	abeq2i 1568	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
13	7, 10, 12	vtoclbg 1845	. 2 |- (A e. V -> (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))
14	1, 6, 13	pm5.21nii 678	1 |- (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1808  <.cop 2408  {copab 2662

This theorem is referenced by:  hbopab 2808  opelopabg 2813  opabn0 2820  elxp 3198  elcnv 3289

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-opab 2663

Copyright terms: Public domain