Theorem elnp 5092

Description: Membership in positive reals.

Assertion

Ref	Expression
elnp	|- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1817	. 2 |- (A e. P. -> A e. V)
2		pssss 2143	. . . 4 |- (A (. Q. -> A (_ Q.)
3		nqex 5049	. . . . 5 |- Q. e. V
4	3	ssex 2719	. . . 4 |- (A (_ Q. -> A e. V)
5	2, 4	syl 10	. . 3 |- (A (. Q. -> A e. V)
6	5	ad2antlr 405	. 2 |- ((((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)) -> A e. V)
7		psseq2 2136	. . . . 5 |- (z = A -> ((/) (. z <-> (/) (. A))
8		psseq1 2135	. . . . 5 |- (z = A -> (z (. Q. <-> A (. Q.))
9	7, 8	anbi12d 628	. . . 4 |- (z = A -> (((/) (. z /\ z (. Q.) <-> ((/) (. A /\ A (. Q.)))
10		eleq2 1535	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (y e. z <-> y e. A))
11	10	imbi2d 612	. . . . . . 7 |- (z = A -> ((y <Q x -> y e. z) <-> (y <Q x -> y e. A)))
12	11	albidv 1278	. . . . . 6 |- (z = A -> (A.y(y <Q x -> y e. z) <-> A.y(y <Q x -> y e. A)))
13		rexeq1 1787	. . . . . 6 |- (z = A -> (E.y e. z x <Q y <-> E.y e. A x <Q y))
14	12, 13	anbi12d 628	. . . . 5 |- (z = A -> ((A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y) <-> (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
15	14	raleqd 1791	. . . 4 |- (z = A -> (A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y) <-> A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
16	9, 15	anbi12d 628	. . 3 |- (z = A -> ((((/) (. z /\ z (. Q.) /\ A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y)) <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))))
17		df-np 5086	. . 3 |- P. = {z | (((/) (. z /\ z (. Q.) /\ A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y))}
18	16, 17	elab2g 1900	. 2 |- (A e. V -> (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))))
19	1, 6, 18	pm5.21nii 679	1 |- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047   (. wpss 2048  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  Q.cnq 4979   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  prn0 5093  prpssnq 5094  prcdpq 5097  prnmax 5099  genpcl 5111  1pr 5117  ltexprlem5 5146  reclem2pr 5157  suplem1pr 5161

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086

Copyright terms: Public domain