Theorem elnnz 6043

Description: Natural number property expressed in terms of integers.

Assertion

Ref	Expression
elnnz	|- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))

Proof of Theorem elnnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnret 5828	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. RR)
2		orc 269	. . . . 5 |- (N e. NN -> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
3	1, 2	jca 288	. . . 4 |- (N e. NN -> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
4		nngt0t 5845	. . . 4 |- (N e. NN -> 0 < N)
5	3, 4	jca 288	. . 3 |- (N e. NN -> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
6		idd 61	. . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> (N e. NN -> N e. NN))
7		lt0neg2t 5593	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (0 < N <-> -uN < 0))
8		renegclt 5360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. RR -> -uN e. RR)
9		0re 5363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
10		ltnsymt 5456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uN e. RR /\ 0 e. RR) -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
11	9, 10	mpan2 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-uN e. RR -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
12	8, 11	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
13	7, 12	sylbid 203	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. RR -> (0 < N -> -. 0 < -uN))
14	13	imp 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. 0 < -uN)
15		nngt0t 5845	. . . . . . . . . . 11 |- (-uN e. NN -> 0 < -uN)
16	14, 15	nsyl 116	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. -uN e. NN)
17		gt0ne0t 5543	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> N =/= 0)
18		df-ne 1563	. . . . . . . . . . 11 |- (N =/= 0 <-> -. N = 0)
19	17, 18	sylib 198	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. N = 0)
20	16, 19	jca 288	. . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
21		ioran 306	. . . . . . . . 9 |- (-. (-uN e. NN \/ N = 0) <-> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
22	20, 21	sylibr 200	. . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. (-uN e. NN \/ N = 0))
23	22	pm2.21d 78	. . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> ((-uN e. NN \/ N = 0) -> N e. NN))
24	6, 23	jaod 424	. . . . . 6 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> N e. NN))
25	24	ex 373	. . . . 5 |- (N e. RR -> (0 < N -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> N e. NN)))
26	25	com23 32	. . . 4 |- (N e. RR -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> (0 < N -> N e. NN)))
27	26	imp31 362	. . 3 |- (((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N) -> N e. NN)
28	5, 27	impbi 157	. 2 |- (N e. NN <-> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
29		elz 6035	. . . 4 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))
30		3orrot 778	. . . . . 6 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> (N e. NN \/ -uN e. NN \/ N = 0))
31		3orass 775	. . . . . 6 |- ((N e. NN \/ -uN e. NN \/ N = 0) <-> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
32	30, 31	bitr 173	. . . . 5 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
33	32	anbi2i 479	. . . 4 |- ((N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)) <-> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
34	29, 33	bitr 173	. . 3 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
35	34	anbi1i 480	. 2 |- ((N e. ZZ /\ 0 < N) <-> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
36	28, 35	bitr4 176	1 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 771   = wceq 1099   e. wcel 1105   =/= wne 1561   class class class wbr 2587  RRcr 5156  0cc0 5157  -ucneg 5216  NNcn 5219  ZZcz 5221   < clt 5409

This theorem is referenced by:  elnn0z 6045  nnssz 6049  nn0subt 6059  elnn0nn 6069  elnnnn0b 6071  znnsubt 6075  msqznn 6094  sqr2irr 6610  eftlexOLD 7270

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-n 5824  df-z 6034

Copyright terms: Public domain