Theorem elnn 3148

Description: A member of a natural number is a natural number.

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ((A e. B /\ B e. om) -> A e. om)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 3147	. . 3 |- Ord om
2		ordtr 2968	. . 3 |- (Ord om -> Tr om)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- Tr om
4		trel 2692	. 2 |- (Tr om -> ((A e. B /\ B e. om) -> A e. om))
5	3, 4	ax-mp 7	1 |- ((A e. B /\ B e. om) -> A e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  Tr wtr 2685  Ord word 2953  omcom 3137

This theorem is referenced by:  pssnn 4544  ssnnfi 4545  ssnnfiOLD 4546  unfilem1 4560  unfilem2 4561  inf3lem5 4626  cardnn 4834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-om 3138

Copyright terms: Public domain