Theorem elnlfn2t 9853

Description: Membership in the null space of a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
elnlfn2t	|- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> (T` A) = 0)

Proof of Theorem elnlfn2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.27 323	. 2 |- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> A e. (null` T))
2		nlfnvalt 9808	. . . . . 6 |- (T:H~-->CC -> (null` T) = {x e. H~ | (T` x) = 0})
3		ssrab2 2131	. . . . . . 7 |- {x e. H~ | (T` x) = 0} (_ H~
4	3	a1i 8	. . . . . 6 |- (T:H~-->CC -> {x e. H~ | (T` x) = 0} (_ H~)
5	2, 4	eqsstrd 2095	. . . . 5 |- (T:H~-->CC -> (null` T) (_ H~)
6	5	sseld 2067	. . . 4 |- (T:H~-->CC -> (A e. (null` T) -> A e. H~))
7	6	imp 350	. . 3 |- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> A e. H~)
8		elnlfnt 9852	. . 3 |- ((T:H~-->CC /\ A e. H~) -> (A e. (null` T) <-> (T` A) = 0))
9	7, 8	syldan 467	. 2 |- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> (A e. (null` T) <-> (T` A) = 0))
10	1, 9	mpbid 195	1 |- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> (T` A) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648   (_ wss 2047  -->wf 3178  ` cfv 3182  CCcc 5232  0cc0 5234  H~chil 8788  nullcnl 8821

This theorem is referenced by:  nlelsh 9993  nlelch 9994  riesz3 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-qs 4266  df-map 4324  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086  df-nr 5167  df-c 5240  df-nlfn 9772

Copyright terms: Public domain