Theorem elirr 4599

Description: No class is a member of itself. Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 22.

Assertion

Ref	Expression
elirr	|- -. A e. A

Proof of Theorem elirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1535	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. x <-> x e. A))
2		eleq1 1534	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. A <-> A e. A))
3	1, 2	bitrd 528	. . . 4 |- (x = A -> (x e. x <-> A e. A))
4	3	negbid 611	. . 3 |- (x = A -> (-. x e. x <-> -. A e. A))
5		elirrv 4598	. . 3 |- -. x e. x
6	4, 5	vtoclg 1847	. 2 |- (A e. A -> -. A e. A)
7		pm2.01 88	. 2 |- ((A e. A -> -. A e. A) -> -. A e. A)
8	6, 7	ax-mp 7	1 |- -. A e. A

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958

This theorem is referenced by:  sucprcreg 4600  carduni 4858  alephle 4884  alephfp 4900  alephval3 4903  tpsex 7605

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413

Copyright terms: Public domain