HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elicc2t 6324
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
elicc2t |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
Proof of Theorem elicc2t
StepHypRef Expression
1 elicc1t 6321 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B)))
2 rexrt 5471 . . . 4 |- (A e. RR -> A e. RR*)
3 rexrt 5471 . . . 4 |- (B e. RR -> B e. RR*)
41, 2, 3syl2an 454 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B)))
5 mnfltt 5516 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> -oo < A)
65ad2antrr 404 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> -oo < A)
7 mnfxr 5466 . . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
8 xrltletrt 5536 . . . . . . . . . . . . 13 |- (( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
97, 8mp3an1 900 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
109, 2sylan 448 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
1110adantlr 393 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
126, 11mpand 699 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (A <_ C -> -oo < C))
13 ltpnft 5515 . . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> B < +oo)
1413ad2antlr 405 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> B < +oo)
15 pnfxr 5465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
16 xrlelttrt 5535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1715, 16mp3an3 902 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. RR* /\ B e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1817, 3sylan2 451 . . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR* /\ B e. RR) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1918ancoms 436 . . . . . . . . . . 11 |- ((B e. RR /\ C e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
2019adantll 392 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
2114, 20mpan2d 700 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C <_ B -> C < +oo))
2212, 21anim12d 556 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A <_ C /\ C <_ B) -> ( -oo < C /\ C < +oo)))
23 xrrebndt 5541 . . . . . . . . 9 |- (C e. RR* -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
2423adantl 388 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
2522, 24sylibrd 204 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A <_ C /\ C <_ B) -> C e. RR))
2625ex 373 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. RR* -> ((A <_ C /\ C <_ B) -> C e. RR)))
2726imp3a 361 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> C e. RR))
28 pm3.27 323 . . . . . 6 |- ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> (A <_ C /\ C <_ B))
2928a1i 8 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> (A <_ C /\ C <_ B)))
3027, 29jcad 598 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> (C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B))))
31 3anass 777 . . . 4 |- ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B) <-> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
32 3anass 777 . . . 4 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) <-> (C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
3330, 31, 323imtr4g 551 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
344, 33sylbid 203 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
35 rexrt 5471 . . . . 5 |- (C e. RR -> C e. RR*)
3635anim1i 334 . . . 4 |- ((C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
3736, 32, 313imtr4 219 . . 3 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B))
384, 37syl5bir 210 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> C e. (A[,]B)))
3934, 38impbid 514 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205   <_ cle 5267   +oocpnf 5455   -oocmnf 5456  RR*cxr 5457   < clt 5458  [,]cicc 6297
This theorem is referenced by:  iccssret 6329  iccsupr 6331  lbicc2t 6337  ubicc2t 6338  iccnegt 6340  ivthlem5 7220  ivthlem6 7221  ivthlem7 7222  ivthlem8 7223  ivthlem4OLD 7228  ivthlem5OLD 7229  ivthlem6OLD 7230  ivthlem7OLD 7231  ivthlem8OLD 7232  ivthOLD 7233  ivth2OLD 7234  reeff1olem1 7364  reeff1olem1OLD 7366  pilem1 8590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-icc 6301
Copyright terms: Public domain