HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elfzp1 6450
Description: Append an element to a finite set of sequential integers.
Assertion
Ref Expression
elfzp1 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
Proof of Theorem elfzp1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 6364 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
21ad2antrr 404 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> M e. ZZ)
3 eluzelz 6363 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
43ad2antrr 404 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> N e. ZZ)
5 elfzelz 6422 . . . . . . . . 9 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K e. ZZ)
65ad2antlr 405 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K e. ZZ)
72, 4, 63jca 818 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ))
8 elfzle1 6423 . . . . . . . . 9 |- (K e. (M...(N + 1)) -> M <_ K)
98ad2antlr 405 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> M <_ K)
10 elfzle2 6424 . . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K <_ (N + 1))
1110adantl 388 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> K <_ (N + 1))
1211anim1i 334 . . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K))
13 ltlent 5503 . . . . . . . . . . 11 |- ((K e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (K < (N + 1) <-> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K)))
14 zret 6094 . . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
155, 14syl 10 . . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K e. RR)
1615ad2antlr 405 . . . . . . . . . . 11 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K e. RR)
17 zret 6094 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
18 peano2re 5416 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
193, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. RR)
2019ad2antrr 404 . . . . . . . . . . 11 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (N + 1) e. RR)
2113, 16, 20sylanc 471 . . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K < (N + 1) <-> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K)))
2212, 21mpbird 196 . . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K < (N + 1))
23 zleltp1t 6137 . . . . . . . . . 10 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
2423, 6, 4sylanc 471 . . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
2522, 24mpbird 196 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K <_ N)
269, 25jca 288 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (M <_ K /\ K <_ N))
277, 26jca 288 . . . . . 6 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
2827ex 373 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> ((N + 1) =/= K -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
29 elfz2t 6412 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
3029adantr 389 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
3128, 30sylibrd 204 . . . 4 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> ((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)))
32 eqcom 1474 . . . . . 6 |- ((N + 1) = K <-> K = (N + 1))
3332orbi1i 256 . . . . 5 |- (((N + 1) = K \/ K e. (M...N)) <-> (K = (N + 1) \/ K e. (M...N)))
34 neor 1635 . . . . 5 |- (((N + 1) = K \/ K e. (M...N)) <-> ((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)))
35 orcom 246 . . . . 5 |- ((K = (N + 1) \/ K e. (M...N)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3633, 34, 353bitr3 181 . . . 4 |- (((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3731, 36sylib 198 . . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3837ex 373 . 2 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) -> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
39 fzssp1t 6446 . . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M...N) (_ (M...(N + 1)))
4039, 1, 3sylanc 471 . . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> (M...N) (_ (M...(N + 1)))
4140sseld 2063 . . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...N) -> K e. (M...(N + 1))))
42 eleq1 1531 . . . 4 |- (K = (N + 1) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (N + 1) e. (M...(N + 1))))
43 peano2uz 6387 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (ZZ>` M))
44 eluzfz2t 6429 . . . . 5 |- ((N + 1) e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (M...(N + 1)))
4543, 44syl 10 . . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (M...(N + 1)))
4642, 45syl5cbir 211 . . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K = (N + 1) -> K e. (M...(N + 1))))
4741, 46jaod 424 . 2 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((K e. (M...N) \/ K = (N + 1)) -> K e. (M...(N + 1))))
4838, 47impbid 515 1 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   <_ cle 5275  ZZcz 5278   < clt 5466  ZZ>cuz 6357  ...cfz 6407
This theorem is referenced by:  fsequb 6463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-uz 6358  df-fz 6408
Copyright terms: Public domain