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Theorem elfzlem 6413
Description: Lemma for elfzel1 6421 and others.
Assertion
Ref Expression
elfzlem |- (K e. (M...N) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
Proof of Theorem elfzlem
StepHypRef Expression
1 elfz2t 6412 . . 3 |- (N e. V -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
2 3simpb 785 . . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M e. ZZ /\ K e. ZZ))
32anim1i 334 . . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
41, 3syl6bi 214 . 2 |- (N e. V -> (K e. (M...N) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
5 oprprc2 3976 . . . 4 |- (-. N e. V -> (M...N) = (M...M))
65eleq2d 1538 . . 3 |- (-. N e. V -> (K e. (M...N) <-> K e. (M...M)))
7 brprc 2656 . . . . . 6 |- (-. N e. V -> (K <_ N <-> K <_ K))
87anbi2d 615 . . . . 5 |- (-. N e. V -> ((M <_ K /\ K <_ N) <-> (M <_ K /\ K <_ K)))
98anbi2d 615 . . . 4 |- (-. N e. V -> (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K))))
10 elfz2t 6412 . . . . . . . 8 |- (M e. V -> (K e. (M...M) <-> ((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ M))))
11 3simpb 785 . . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M e. ZZ /\ K e. ZZ))
12 pm3.26 319 . . . . . . . . 9 |- ((M <_ K /\ K <_ M) -> M <_ K)
1311, 12anim12i 333 . . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ M)) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K))
1410, 13syl6bi 214 . . . . . . 7 |- (M e. V -> (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K)))
15 zret 6094 . . . . . . . . . . 11 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
16 leidt 5512 . . . . . . . . . . 11 |- (K e. RR -> K <_ K)
1715, 16syl 10 . . . . . . . . . 10 |- (K e. ZZ -> K <_ K)
18173ad2ant3 801 . . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> K <_ K)
1918adantr 389 . . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ M)) -> K <_ K)
2010, 19syl6bi 214 . . . . . . 7 |- (M e. V -> (K e. (M...M) -> K <_ K))
2114, 20jcad 599 . . . . . 6 |- (M e. V -> (K e. (M...M) -> (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K) /\ K <_ K)))
22 anass 439 . . . . . 6 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K) /\ K <_ K) <-> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K)))
2321, 22syl6ib 212 . . . . 5 |- (M e. V -> (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K))))
24 relxp 3250 . . . . . . . . 9 |- Rel (ZZ X. ZZ)
25 zex 6099 . . . . . . . . . . . 12 |- ZZ e. V
2625rabex 2720 . . . . . . . . . . 11 |- {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)} e. V
27 df-fz 6408 . . . . . . . . . . 11 |- ... = {<.<.m, n>., z>. | ((m e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ z = {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)})}
2826, 27dmoprab2 4113 . . . . . . . . . 10 |- dom ... = (ZZ X. ZZ)
2928releqi 3239 . . . . . . . . 9 |- (Rel dom ... <-> Rel (ZZ X. ZZ))
3024, 29mpbir 190 . . . . . . . 8 |- Rel dom ...
3130oprprc1 3975 . . . . . . 7 |- (-. M e. V -> (M...M) = (/))
3231pm2.24d 105 . . . . . 6 |- (-. M e. V -> (-. (M...M) = (/) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K))))
33 n0i 2281 . . . . . 6 |- (K e. (M...M) -> -. (M...M) = (/))
3432, 33syl5 21 . . . . 5 |- (-. M e. V -> (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K))))
3523, 34pm2.61i 126 . . . 4 |- (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K)))
369, 35syl5bir 210 . . 3 |- (-. N e. V -> (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
376, 36sylbid 203 . 2 |- (-. N e. V -> (K e. (M...N) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
384, 37pm2.61i 126 1 |- (K e. (M...N) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  {crab 1645  Vcvv 1807  (/)c0 2276   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  dom cdm 3165  Rel wrel 3170  (class class class)co 3954  RRcr 5213   <_ cle 5275  ZZcz 5278  ...cfz 6407
This theorem is referenced by:  elfzel1 6421  elfzelz 6422  elfzle1 6423  elfzle2 6424  elfz1eqt 6432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-enr 5146  df-nr 5147  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-lt 5227  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-z 6091  df-fz 6408
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