Theorem elfz2t 6404

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ.

Assertion

Ref	Expression
elfz2t	|- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))

Proof of Theorem elfz2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1t 6402	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)))
2		ibar 641	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
3		3anass 777	. . . . . 6 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) <-> (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
4	2, 3	syl5bb 530	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
5	1, 4	bitrd 526	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
6	5	adantl 388	. . 3 |- ((N e. A /\ (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
7		zex 6091	. . . . . . . 8 |- ZZ e. V
8	7	rabex 2715	. . . . . . 7 |- {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)} e. V
9		df-fz 6400	. . . . . . 7 |- ... = {<.<.m, n>., z>. | ((m e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ z = {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)})}
10	8, 9	dmoprab2 4107	. . . . . 6 |- dom ... = (ZZ X. ZZ)
11	10	ndmoprgOLD 4029	. . . . 5 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (M...N) = (/))
12	11	eleq2d 1533	. . . 4 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> K e. (/)))
13		noel 2274	. . . . . . 7 |- -. K e. (/)
14	13	pm2.21i 77	. . . . . 6 |- (K e. (/) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
15		pm3.26 319	. . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
16	14, 15	pm5.21ni 676	. . . . 5 |- (-. (M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (/) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
17	16	adantl 388	. . . 4 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (/) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
18	12, 17	bitrd 526	. . 3 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
19	6, 18	pm2.61dan 476	. 2 |- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
20		df-3an 775	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ))
21	20	anbi1i 480	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
22		anass 439	. . 3 |- ((((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
23	21, 22	bitr2 174	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
24	19, 23	syl6bb 534	1 |- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   e. wcel 955  {crab 1640  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948   <_ cle 5267  ZZcz 5270  ...cfz 6399

This theorem is referenced by:  elfzlem 6405  elfzuzb 6408  elfzel2 6411  elfzel2g 6412  elfz2nn0t 6427  fznn0subt 6430  elfzp1 6442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-enr 5138  df-nr 5139  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-neg 5330  df-z 6083  df-fz 6400

Copyright terms: Public domain