Theorem elfv 3722

Description: Membership in a function value.

Hypothesis

Ref	Expression
elfv.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
elfv	|- (A e. (F` B) <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   x,F,y

Proof of Theorem elfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv.1	. . . 4 |- B e. V
2	1	fv2 3720	. . 3 |- (F` B) = U.{x | A.y(BFy <-> y = x)}
3	2	eleq2i 1538	. 2 |- (A e. (F` B) <-> A e. U.{x | A.y(BFy <-> y = x)})
4		eluniab 2513	. 2 |- (A e. U.{x | A.y(BFy <-> y = x)} <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))
5	3, 4	bitr 173	1 |- (A e. (F` B) <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fv3 3733

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain