Theorem ele3lem 7285

Description: Lemma for ele3 7292.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
ele3lem	|- e <_ 3

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem ele3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 5936	. . . . 5 |- 2 e. RR
2	1	elisseti 1815	. . . 4 |- 2 e. V
3		erelem1.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
4		erelem1.2	. . . . . 6 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
5	3, 4	erelem1 7278	. . . . 5 |- (F:NN-->RR /\ G:NN-->RR)
6	5	pm3.26i 320	. . . 4 |- F:NN-->RR
7	5	pm3.27i 324	. . . 4 |- G:NN-->RR
8	3, 4	erelem3 7280	. . . 4 |- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))
9	3, 4	erelem2 7279	. . . 4 |- ( + seq1 F) ~~> 2
10		ltso 5495	. . . . 5 |- < Or RR
11	10	supex 4560	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. V
12	3, 4	erelem4 7281	. . . 4 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
13	2, 6, 7, 8, 9, 11, 12	cvgcmpub 7138	. . 3 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ 2
14	3, 4	erelem5 7282	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. RR
15		1re 5418	. . . 4 |- 1 e. RR
16	14, 1, 15	leadd2 5577	. . 3 |- (sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ 2 <-> (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) <_ (1 + 2))
17	13, 16	mpbi 189	. 2 |- (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) <_ (1 + 2)
18	3, 4	erelem6 7283	. 2 |- e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
19		df-3 5928	. . 3 |- 3 = (2 + 1)
20		2cn 5937	. . . 4 |- 2 e. CC
21		ax1cn 5252	. . . 4 |- 1 e. CC
22	20, 21	addcom 5305	. . 3 |- (2 + 1) = (1 + 2)
23	19, 22	eqtr 1493	. 2 |- 3 = (1 + 2)
24	17, 18, 23	3brtr4 2639	1 |- e <_ 3

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  {copab 2662  ran crn 3167  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  supcsup 4556  RRcr 5216  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   / cdiv 5277   <_ cle 5278  NNcn 5279   < clt 5469  2c2 5918  3c3 5919   seq1 cseq1 6257  ^cexp 6513  !cfa 6883  eceu 7253

This theorem is referenced by:  ele3 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-seq0 6479  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-fac 6884  df-clim 6928  df-sum 6933  df-ef 7257  df-e 7258

Copyright terms: Public domain