Theorem eirrlem5 7334

Description: Lemma for eirr 7335.

Hypotheses

Ref	Expression
eirrlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
eirrlem2.2	|- P e. ZZ
eirrlem2.3	|- Q e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem5	|- -. e = (P / Q)

Distinct variable group:   Q,j,y

Proof of Theorem eirrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 6093	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eirrlem2.1	. . . 4 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
3		eirrlem2.2	. . . 4 |- P e. ZZ
4		eirrlem2.3	. . . 4 |- Q e. NN
5	2, 3, 4	eirrlem4 7333	. . 3 |- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
6	2, 3, 4	eirrlem3 7332	. . . 4 |- ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < 1
7		ax1cn 5241	. . . . 5 |- 1 e. CC
8	7	addid2 5303	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
9	6, 8	breqtrr 2630	. . 3 |- ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < (0 + 1)
10		btwnnzt 6139	. . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) /\ ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < (0 + 1)) -> -. ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ)
11	1, 5, 9, 10	mp3an 913	. 2 |- -. ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ
12		efvalt 7250	. . . . . . . . . 10 |- (1 e. CC -> (exp` 1) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k)))
13	7, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (exp` 1) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k))
14		df-e 7241	. . . . . . . . 9 |- e = (exp` 1)
15	2	eftval 7258	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((1^k) / (!` k)))
16	15	sumeq2i 6926	. . . . . . . . 9 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k))
17	13, 14, 16	3eqtr4 1497	. . . . . . . 8 |- e = sum_k e. NN0 (F` k)
18	17	eqeq1i 1474	. . . . . . 7 |- (e = (P / Q) <-> sum_k e. NN0 (F` k) = (P / Q))
19	18	biimp 151	. . . . . 6 |- (e = (P / Q) -> sum_k e. NN0 (F` k) = (P / Q))
20	19	opreq1d 3960	. . . . 5 |- (e = (P / Q) -> (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k)) = ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k)))
21	20	opreq2d 3961	. . . 4 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) = ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))))
22		ere 7272	. . . . . . . 8 |- e e. RR
23	17, 22	eqeltrr 1537	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) e. RR
24	23	recn 5286	. . . . . 6 |- sum_k e. NN0 (F` k) e. CC
25	4	nnnn0 6054	. . . . . . . 8 |- Q e. NN0
26		nn0uz 6370	. . . . . . . 8 |- NN0 = (ZZ>` 0)
27	25, 26	eleqtr 1538	. . . . . . 7 |- Q e. (ZZ>` 0)
28		fzssuzt 6437	. . . . . . . 8 |- (0...Q) (_ (ZZ>` 0)
29		elnn0uz 6373	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
30		eftclt 7245	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. CC /\ k e. NN0) -> ((1^k) / (!` k)) e. CC)
31	7, 30	mpan 693	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) e. CC)
32	15, 31	eqeltrd 1540	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
33	29, 32	sylbir 201	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. CC)
34	33	rgen 1690	. . . . . . . 8 |- A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC
35		ssralv 2104	. . . . . . . 8 |- ((0...Q) (_ (ZZ>` 0) -> (A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC -> A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC))
36	28, 34, 35	mp2 43	. . . . . . 7 |- A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC
37		fsumclt 6953	. . . . . . 7 |- ((Q e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC) -> sum_k e. (0...Q)(F` k) e. CC)
38	27, 36, 37	mp2an 695	. . . . . 6 |- sum_k e. (0...Q)(F` k) e. CC
39		peano2nn 5883	. . . . . . . . 9 |- (Q e. NN -> (Q + 1) e. NN)
40	4, 39	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (Q + 1) e. NN
41		nnzt 6100	. . . . . . . 8 |- ((Q + 1) e. NN -> (Q + 1) e. ZZ)
42	40, 41	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (Q + 1) e. ZZ
43	2	eftlext 7320	. . . . . . . 8 |- ((1 e. CC /\ (Q + 1) e. NN) -> E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x)
44	7, 40, 43	mp2an 695	. . . . . . 7 |- E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x
45		nn0ex 6052	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. V
46	45, 2	fopabex2 3598	. . . . . . . 8 |- F e. V
47	46	isumclt 7144	. . . . . . 7 |- (((Q + 1) e. ZZ /\ E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. CC)
48	42, 44, 47	mp2an 695	. . . . . 6 |- sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. CC
49		eftclt 7245	. . . . . . . . . 10 |- ((1 e. CC /\ j e. NN0) -> ((1^j) / (!` j)) e. CC)
50	7, 49	mpan 693	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN0 -> ((1^j) / (!` j)) e. CC)
51	2, 50	fopab 3812	. . . . . . . 8 |- F:NN0-->CC
52	2	efseq0ex 7253	. . . . . . . . 9 |- (1 e. CC -> E.x( + seq0 F) ~~> x)
53	7, 52	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
54	25, 51, 53	isum0split 7152	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = (sum_k e. (0...Q)(F` k) + sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
55	54	eqcomi 1471	. . . . . 6 |- (sum_k e. (0...Q)(F` k) + sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) = sum_k e. NN0 (F` k)
56	24, 38, 48, 55	subaddri 5344	. . . . 5 |- (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)
57	56	opreq2i 3957	. . . 4 |- ((!` Q) x. (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) = ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
58	21, 57	syl5eqr 1513	. . 3 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) = ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))))
59	2, 3, 4	eirrlem2 7331	. . 3 |- ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) e. ZZ
60	58, 59	syl6eqel 1548	. 2 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ)
61	11, 60	mto 106	1 |- -. e = (P / Q)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  A.wral 1637   (_ wss 2037  <.cop 2401   class class class wbr 2609  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266  NNcn 5268  NN0cn0 5269  ZZcz 5270   < clt 5458  ZZ>cuz 6349  ...cfz 6399   seq cseqz 6463   seq0 cseq0 6464  ^cexp 6500  !cfa 6868   ~~> cli 6912  sum_csu 6917  expce 7235  eceu 7236

This theorem is referenced by:  eirr 7335

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240  df-e 7241

Copyright terms: Public domain