Theorem eirrlem4 7333

Description: Lemma for eirr 7335.

Hypotheses

Ref	Expression
eirrlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
eirrlem2.2	|- P e. ZZ
eirrlem2.3	|- Q e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem4	|- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))

Distinct variable groups:   k,F   Q,j,k,y

Proof of Theorem eirrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eirrlem2.3	. . . . 5 |- Q e. NN
2	1	nnnn0 6054	. . . 4 |- Q e. NN0
3		facclt 6877	. . . 4 |- (Q e. NN0 -> (!` Q) e. NN)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- (!` Q) e. NN
5	4	nnre 5879	. 2 |- (!` Q) e. RR
6		nn0p1nnt 6122	. . . . . 6 |- (Q e. NN0 -> (Q + 1) e. NN)
7	2, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (Q + 1) e. NN
8	7	nnnn0 6054	. . . 4 |- (Q + 1) e. NN0
9		nn0zt 6101	. . . 4 |- ((Q + 1) e. NN0 -> (Q + 1) e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- (Q + 1) e. ZZ
11		nn0uz 6370	. . . . . . 7 |- NN0 = (ZZ>` 0)
12	8, 11	eleqtr 1538	. . . . . 6 |- (Q + 1) e. (ZZ>` 0)
13		uztrn 6360	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>` (Q + 1)) /\ (Q + 1) e. (ZZ>` 0)) -> k e. (ZZ>` 0))
14	12, 13	mpan2 694	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` (Q + 1)) -> k e. (ZZ>` 0))
15		elnn0uz 6373	. . . . . 6 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
16		eirrlem2.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
17	16	eftval 7258	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((1^k) / (!` k)))
18		1re 5407	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
19		reeftclt 7316	. . . . . . . 8 |- ((1 e. RR /\ k e. NN0) -> ((1^k) / (!` k)) e. RR)
20	18, 19	mpan 693	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) e. RR)
21	17, 20	eqeltrd 1540	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. RR)
22	15, 21	sylbir 201	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. RR)
23	14, 22	syl 10	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` (Q + 1)) -> (F` k) e. RR)
24	23	rgen 1690	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR
25		ax1cn 5241	. . . 4 |- 1 e. CC
26	16	eftlext 7320	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ (Q + 1) e. NN) -> E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x)
27	25, 7, 26	mp2an 695	. . 3 |- E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x
28		nn0ex 6052	. . . . 5 |- NN0 e. V
29	28, 16	fopabex2 3598	. . . 4 |- F e. V
30	29	isumreclt 7145	. . 3 |- (((Q + 1) e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR /\ E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR)
31	10, 24, 27, 30	mp3an 913	. 2 |- sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR
32	4	nngt0 5898	. 2 |- 0 < (!` Q)
33		divgt0t 5809	. . . . . . . 8 |- ((((1^k) e. RR /\ 0 < (1^k)) /\ ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k))) -> 0 < ((1^k) / (!` k)))
34		1expt 6516	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (1^k) = 1)
35	34, 18	syl6eqel 1548	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (1^k) e. RR)
36		lt01 5653	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
37	34, 36	syl5breqr 2641	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> 0 < (1^k))
38	35, 37	jca 288	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> ((1^k) e. RR /\ 0 < (1^k)))
39		facclt 6877	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
40		nnret 5877	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
41		nngt0t 5894	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
42	40, 41	jca 288	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k)))
43	39, 42	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k)))
44	33, 38, 43	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> 0 < ((1^k) / (!` k)))
45	44, 17	breqtrrd 2631	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> 0 < (F` k))
46	21, 45	jca 288	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)))
47	15, 46	sylbir 201	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` 0) -> ((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)))
48	47	rgen 1690	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` 0)((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k))
49	16	efseq0ex 7253	. . . . 5 |- (1 e. CC -> E.x( + seq0 F) ~~> x)
50	25, 49	ax-mp 7	. . . 4 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
51		addex 5289	. . . . . . 7 |- + e. V
52	51, 29	seq0seqz 6474	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
53	52	breq1i 2616	. . . . 5 |- (( + seq0 F) ~~> x <-> (<.0, + >. seq F) ~~> x)
54	53	exbii 1047	. . . 4 |- (E.x( + seq0 F) ~~> x <-> E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x)
55	50, 54	mpbi 189	. . 3 |- E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x
56	29	iserzgt0 7146	. . 3 |- (((Q + 1) e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (ZZ>` 0)((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)) /\ E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x) -> 0 < sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
57	12, 48, 55, 56	mp3an 913	. 2 |- 0 < sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)
58	5, 31, 32, 57	mulgt0i 5582	1 |- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  A.wral 1637  <.cop 2401   class class class wbr 2609  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268  NN0cn0 5269  ZZcz 5270   < clt 5458  ZZ>cuz 6349   seq cseqz 6463   seq0 cseq0 6464  ^cexp 6500  !cfa 6868   ~~> cli 6912  sum_csu 6917

This theorem is referenced by:  eirrlem5 7334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240

Copyright terms: Public domain