Theorem eirrlem1 7347

Description: Lemma for eirr 7352.

Hypothesis

Ref	Expression
eirrlem1.1	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem1	|- ((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1

Proof of Theorem eirrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eirrlem1.1	. . . 4 |- N e. NN
2		nnge1t 5901	. . . 4 |- (N e. NN -> 1 <_ N)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- 1 <_ N
4		1nn0 6071	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
5	1	nnnn0 6064	. . . . . 6 |- N e. NN0
6		nn0leltp1t 6085	. . . . . 6 |- ((1 e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 <_ N <-> 1 < (N + 1)))
7	4, 5, 6	mp2an 696	. . . . 5 |- (1 <_ N <-> 1 < (N + 1))
8	3, 7	mpbi 189	. . . 4 |- 1 < (N + 1)
9	1	nnre 5889	. . . . 5 |- N e. RR
10		peano2nn 5893	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (N + 1) e. NN)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (N + 1) e. NN
12	11	nnre 5889	. . . . 5 |- (N + 1) e. RR
13	1	nngt0 5908	. . . . 5 |- 0 < N
14		ltmulgt11t 5812	. . . . 5 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 0 < N) -> (1 < (N + 1) <-> N < (N x. (N + 1))))
15	9, 12, 13, 14	mp3an 915	. . . 4 |- (1 < (N + 1) <-> N < (N x. (N + 1)))
16	8, 15	mpbi 189	. . 3 |- N < (N x. (N + 1))
17		1re 5418	. . . 4 |- 1 e. RR
18	9, 12	remulcl 5318	. . . 4 |- (N x. (N + 1)) e. RR
19	17, 9, 18	lelttr 5570	. . 3 |- ((1 <_ N /\ N < (N x. (N + 1))) -> 1 < (N x. (N + 1)))
20	3, 16, 19	mp2an 696	. 2 |- 1 < (N x. (N + 1))
21		2re 5936	. . . . 5 |- 2 e. RR
22	9, 21	readdcl 5317	. . . 4 |- (N + 2) e. RR
23	12	resqcl 6568	. . . 4 |- ((N + 1)^2) e. RR
24	11	nnne0 5909	. . . . . 6 |- (N + 1) =/= 0
25	12	sqgt0 6572	. . . . . 6 |- ((N + 1) =/= 0 -> 0 < ((N + 1)^2))
26	24, 25	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 < ((N + 1)^2)
27		ltdivmult 5829	. . . . 5 |- ((((N + 2) e. RR /\ ((N + 1)^2) e. RR /\ 1 e. RR) /\ 0 < ((N + 1)^2)) -> (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1)))
28	26, 27	mpan2 695	. . . 4 |- (((N + 2) e. RR /\ ((N + 1)^2) e. RR /\ 1 e. RR) -> (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1)))
29	22, 23, 17, 28	mp3an 915	. . 3 |- (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1))
30	23	recn 5297	. . . . . . 7 |- ((N + 1)^2) e. CC
31	30	mulid1 5315	. . . . . 6 |- (((N + 1)^2) x. 1) = ((N + 1)^2)
32	11	nncn 5890	. . . . . . . 8 |- (N + 1) e. CC
33	32	sqval 6559	. . . . . . 7 |- ((N + 1)^2) = ((N + 1) x. (N + 1))
34	1	nncn 5890	. . . . . . . 8 |- N e. CC
35		ax1cn 5252	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
36	34, 35, 32	adddir 5310	. . . . . . 7 |- ((N + 1) x. (N + 1)) = ((N x. (N + 1)) + (1 x. (N + 1)))
37	32	mulid2 5316	. . . . . . . 8 |- (1 x. (N + 1)) = (N + 1)
38	37	opreq2i 3967	. . . . . . 7 |- ((N x. (N + 1)) + (1 x. (N + 1))) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
39	33, 36, 38	3eqtr 1497	. . . . . 6 |- ((N + 1)^2) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
40	31, 39	eqtr 1493	. . . . 5 |- (((N + 1)^2) x. 1) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
41	40	breq2i 2623	. . . 4 |- ((N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1) <-> (N + 2) < ((N x. (N + 1)) + (N + 1)))
42	22, 12, 18	ltsubadd 5578	. . . 4 |- (((N + 2) - (N + 1)) < (N x. (N + 1)) <-> (N + 2) < ((N x. (N + 1)) + (N + 1)))
43		2cn 5937	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
44		pnpcant 5461	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N + 2) - (N + 1)) = (2 - 1))
45	34, 43, 35, 44	mp3an 915	. . . . . 6 |- ((N + 2) - (N + 1)) = (2 - 1)
46		df-2 5927	. . . . . . . 8 |- 2 = (1 + 1)
47	46	eqcomi 1477	. . . . . . 7 |- (1 + 1) = 2
48	43, 35, 35, 47	subaddri 5355	. . . . . 6 |- (2 - 1) = 1
49	45, 48	eqtr 1493	. . . . 5 |- ((N + 2) - (N + 1)) = 1
50	49	breq1i 2622	. . . 4 |- (((N + 2) - (N + 1)) < (N x. (N + 1)) <-> 1 < (N x. (N + 1)))
51	41, 42, 50	3bitr2 179	. . 3 |- ((N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1) <-> 1 < (N x. (N + 1)))
52	29, 51	bitr 173	. 2 |- (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> 1 < (N x. (N + 1)))
53	20, 52	mpbir 190	1 |- ((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275   / cdiv 5277   <_ cle 5278  NNcn 5279  NN0cn0 5280   < clt 5469  2c2 5918  ^cexp 6513

This theorem is referenced by:  eirrlem3 7349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514

Copyright terms: Public domain