Theorem eigvalvalt 9823

Description: The eigenvalues of eigenvectors of a Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
eigvalvalt	|- (T:H~-->H~ -> (eigval` T) = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem eigvalvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3732	. . 3 |- (eigvec` T) e. V
2	1	opabex2 3610	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))} e. V
3		ax-hilex 8869	. 2 |- H~ e. V
4		fveq2 3724	. . . . 5 |- (t = T -> (eigvec` t) = (eigvec` T))
5	4	eleq2d 1541	. . . 4 |- (t = T -> (x e. (eigvec` t) <-> x e. (eigvec` T)))
6		fveq1 3723	. . . . . . 7 |- (t = T -> (t` x) = (T` x))
7	6	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- (t = T -> ((t` x) .ih x) = ((T` x) .ih x))
8	7	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (t = T -> (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)) = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))
9	8	eqeq2d 1486	. . . 4 |- (t = T -> (y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)) <-> y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2))))
10	5, 9	anbi12d 628	. . 3 |- (t = T -> ((x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2))) <-> (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))))
11	10	opabbidv 2670	. 2 |- (t = T -> {<.x, y>. | (x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))} = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})
12		df-eigval 9780	. 2 |- eigval = {<.t, z>. | (t:H~-->H~ /\ z = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})}
13	2, 3, 3, 11, 12	fvopabf4 4340	1 |- (T:H~-->H~ -> (eigval` T) = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   / cdiv 5294  2c2 5961  ^cexp 6568  H~chil 8788   .ih csp 8793  normhcno 8794  eigveccei 8828  eigvalcel 8829

This theorem is referenced by:  eigvalt 9884

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-eigval 9780

Copyright terms: Public domain