Theorem ege2lem2 7328

Description: Lemma for ege2 7332.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
ege2lem2	|- 2 <_ e

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem ege2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 5317	. . . . . 6 |- + e. V
2		nnex 5933	. . . . . . 7 |- NN e. V
3		erelem1.2	. . . . . . 7 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
4	2, 3	fopabex2 3612	. . . . . 6 |- G e. V
5	1, 4	seq11 6317	. . . . 5 |- (( + seq1 G)` 1) = (G` 1)
6		1nn 5934	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
7		fveq2 3724	. . . . . . . . 9 |- (x = 1 -> (!` x) = (!` 1))
8	7	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (x = 1 -> (1 / (!` x)) = (1 / (!` 1)))
9		oprex 3983	. . . . . . . 8 |- (1 / (!` 1)) e. V
10	8, 3, 9	fvopab4 3780	. . . . . . 7 |- (1 e. NN -> (G` 1) = (1 / (!` 1)))
11	6, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (G` 1) = (1 / (!` 1))
12		fac1 6935	. . . . . . 7 |- (!` 1) = 1
13	12	opreq2i 3972	. . . . . 6 |- (1 / (!` 1)) = (1 / 1)
14		ax1cn 5269	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
15	14	div1 5772	. . . . . 6 |- (1 / 1) = 1
16	11, 13, 15	3eqtr 1499	. . . . 5 |- (G` 1) = 1
17	5, 16	eqtr2 1496	. . . 4 |- 1 = (( + seq1 G)` 1)
18		erelem1.1	. . . . 5 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
19	18, 3	ege2le3lem1 7327	. . . 4 |- (( + seq1 G)` 1) <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
20	17, 19	eqbrtr 2634	. . 3 |- 1 <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
21		1re 5435	. . . 4 |- 1 e. RR
22	18, 3	erelem5 7323	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. RR
23	21, 22, 21	leadd2 5593	. . 3 |- (1 <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <-> (1 + 1) <_ (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )))
24	20, 23	mpbi 189	. 2 |- (1 + 1) <_ (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
25		df-2 5970	. 2 |- 2 = (1 + 1)
26	18, 3	erelem6 7324	. 2 |- e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
27	24, 25, 26	3brtr4 2643	1 |- 2 <_ e

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  {copab 2666  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  2c2 5961   seq1 cseq1 6307  ^cexp 6568  !cfa 6931  eceu 7294

This theorem is referenced by:  ege2 7332

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-e 7299

Copyright terms: Public domain