Theorem eftval 7316

Description: The value of a term in the series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
eftval	|- (N e. NN0 -> (F` N) = ((A^N) / (!` N)))

Distinct variable groups:   A,j,y   j,N,y

Proof of Theorem eftval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . 3 |- (j = N -> (A^j) = (A^N))
2		fveq2 3730	. . 3 |- (j = N -> (!` j) = (!` N))
3	1, 2	opreq12d 3984	. 2 |- (j = N -> ((A^j) / (!` j)) = ((A^N) / (!` N)))
4		eftval.1	. 2 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
5		oprex 3989	. 2 |- ((A^N) / (!` N)) e. V
6	3, 4, 5	fvopab4 3786	1 |- (N e. NN0 -> (F` N) = ((A^N) / (!` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969   / cdiv 5306  NN0cn0 5309  ^cexp 6569  !cfa 6931

This theorem is referenced by:  reefcl 7317  efcj 7336  reeftlclt 7380  ef1tllem 7381  ef01tllem1 7383  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  absef01tllem 7387  eirrlem2 7390  eirrlem3 7391  eirrlem4 7392  eirrlem5 7393  effsumle 7397  eft0val 7398  ef4p 7399  efge1p 7402  absefm1le 7412  eflegeolem2 7414

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971

Copyright terms: Public domain