Theorem efsubt 7313

Description: Difference of exponents law for exponential function. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
efsubt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (exp` (A - B)) = ((exp` A) / (exp` B)))

Proof of Theorem efsubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efcant 7310	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> ((exp` B) x. (exp` -uB)) = 1)
2	1	eqcomd 1472	. . . . . 6 |- (B e. CC -> 1 = ((exp` B) x. (exp` -uB)))
3		divmul2t 5677	. . . . . . . 8 |- (((1 e. CC /\ (exp` B) e. CC /\ (exp` -uB) e. CC) /\ (exp` B) =/= 0) -> ((1 / (exp` B)) = (exp` -uB) <-> 1 = ((exp` B) x. (exp` -uB))))
4		id 59	. . . . . . . 8 |- (1 e. CC -> 1 e. CC)
5		efclt 7254	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (exp` B) e. CC)
6		negclt 5340	. . . . . . . . 9 |- (B e. CC -> -uB e. CC)
7		efclt 7254	. . . . . . . . 9 |- (-uB e. CC -> (exp` -uB) e. CC)
8	6, 7	syl 10	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (exp` -uB) e. CC)
9	3, 4, 5, 8	syl3anl 873	. . . . . . 7 |- (((1 e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC) /\ (exp` B) =/= 0) -> ((1 / (exp` B)) = (exp` -uB) <-> 1 = ((exp` B) x. (exp` -uB))))
10		ax1cn 5241	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
11		pm4.24 433	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. CC <-> (B e. CC /\ B e. CC))
12	11	biimp 151	. . . . . . . . . 10 |- (B e. CC -> (B e. CC /\ B e. CC))
13	12	anim2i 335	. . . . . . . . 9 |- ((1 e. CC /\ B e. CC) -> (1 e. CC /\ (B e. CC /\ B e. CC)))
14		3anass 777	. . . . . . . . 9 |- ((1 e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC) <-> (1 e. CC /\ (B e. CC /\ B e. CC)))
15	13, 14	sylibr 200	. . . . . . . 8 |- ((1 e. CC /\ B e. CC) -> (1 e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC))
16	10, 15	mpan 693	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> (1 e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC))
17		efne0t 7311	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> (exp` B) =/= 0)
18	9, 16, 17	sylanc 471	. . . . . 6 |- (B e. CC -> ((1 / (exp` B)) = (exp` -uB) <-> 1 = ((exp` B) x. (exp` -uB))))
19	2, 18	mpbird 196	. . . . 5 |- (B e. CC -> (1 / (exp` B)) = (exp` -uB))
20	19	opreq2d 3961	. . . 4 |- (B e. CC -> ((exp` A) x. (1 / (exp` B))) = ((exp` A) x. (exp` -uB)))
21	20	adantl 388	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((exp` A) x. (1 / (exp` B))) = ((exp` A) x. (exp` -uB)))
22		efaddt 7309	. . . 4 |- ((A e. CC /\ -uB e. CC) -> (exp` (A + -uB)) = ((exp` A) x. (exp` -uB)))
23	22, 6	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (exp` (A + -uB)) = ((exp` A) x. (exp` -uB)))
24		negsubt 5354	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))
25	24	fveq2d 3713	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (exp` (A + -uB)) = (exp` (A - B)))
26	21, 23, 25	3eqtr2rd 1506	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (exp` (A - B)) = ((exp` A) x. (1 / (exp` B))))
27		divrect 5702	. . . 4 |- (((exp` A) e. CC /\ (exp` B) e. CC /\ (exp` B) =/= 0) -> ((exp` A) / (exp` B)) = ((exp` A) x. (1 / (exp` B))))
28		efclt 7254	. . . 4 |- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)
29	27, 28, 5, 17	syl3an 866	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC) -> ((exp` A) / (exp` B)) = ((exp` A) x. (1 / (exp` B))))
30	29	3anidm23 881	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((exp` A) / (exp` B)) = ((exp` A) x. (1 / (exp` B))))
31	26, 30	eqtr4d 1502	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (exp` (A - B)) = ((exp` A) / (exp` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265   / cdiv 5266  expce 7235

This theorem is referenced by:  relogdivt 8693  logdivtOLD 8711

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240

Copyright terms: Public domain