Theorem efsep 7396

Description: Separate out the next term of the power series expansion of the exponential function. The last hypothesis allows the separated terms to be rearranged as desired. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
efsep.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
efsep.2	|- A e. CC
efsep.3	|- M e. NN0
efsep.4	|- B e. CC
efsep.5	|- (exp` A) = (B + sum_k e. (ZZ>` M)(F` k))
efsep.6	|- (F` M) = C
efsep.7	|- N = (M + 1)
efsep.8	|- D = (B + C)

Assertion

Ref	Expression
efsep	|- (exp` A) = (D + sum_k e. (ZZ>` N)(F` k))

Distinct variable groups:   A,j,y   k,F   k,M

Proof of Theorem efsep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efsep.3	. . . . . 6 |- M e. NN0
2		nn0zt 6154	. . . . . 6 |- (M e. NN0 -> M e. ZZ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- M e. ZZ
4		nn0uz 6438	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = (ZZ>` 0)
5	1, 4	eleqtr 1546	. . . . . . . . 9 |- M e. (ZZ>` 0)
6		uzss 6431	. . . . . . . . 9 |- (M e. (ZZ>` 0) -> (ZZ>` M) (_ (ZZ>` 0))
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` M) (_ (ZZ>` 0)
8	7	sseli 2065	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. (ZZ>` 0))
9		efsep.1	. . . . . . . . . 10 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
10		efsep.2	. . . . . . . . . . 11 |- A e. CC
11		eftclt 7303	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
12	10, 11	mpan 695	. . . . . . . . . 10 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
13	9, 12	fopab 3827	. . . . . . . . 9 |- F:NN0-->CC
14		feq2 3621	. . . . . . . . . 10 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC))
15	4, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC)
16	13, 15	mpbi 189	. . . . . . . 8 |- F:(ZZ>` 0)-->CC
17	16	ffvelrni 3815	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. CC)
18	8, 17	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>` M) -> (F` k) e. CC)
19	18	rgen 1698	. . . . 5 |- A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC
20		nn0p1nnt 6175	. . . . . . 7 |- (M e. NN0 -> (M + 1) e. NN)
21	1, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (M + 1) e. NN
22	9	eftlext 7378	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (M + 1) e. NN) -> E.x(<.(M + 1), + >. seq F) ~~> x)
23	10, 21, 22	mp2an 697	. . . . 5 |- E.x(<.(M + 1), + >. seq F) ~~> x
24		nn0ex 6105	. . . . . . 7 |- NN0 e. V
25	24, 9	fopabex2 3612	. . . . . 6 |- F e. V
26	25	isum1p 7206	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC /\ E.x(<.(M + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = ((F` M) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)))
27	3, 19, 23, 26	mp3an 916	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = ((F` M) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k))
28	27	opreq2i 3972	. . 3 |- (B + sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) = (B + ((F` M) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)))
29		efsep.5	. . 3 |- (exp` A) = (B + sum_k e. (ZZ>` M)(F` k))
30		efsep.4	. . . 4 |- B e. CC
31	16	ffvelrni 3815	. . . . 5 |- (M e. (ZZ>` 0) -> (F` M) e. CC)
32	5, 31	ax-mp 7	. . . 4 |- (F` M) e. CC
33		nnzt 6153	. . . . . 6 |- ((M + 1) e. NN -> (M + 1) e. ZZ)
34	21, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- (M + 1) e. ZZ
35	25	isumclt 7209	. . . . 5 |- (((M + 1) e. ZZ /\ E.x(<.(M + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k) e. CC)
36	34, 23, 35	mp2an 697	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k) e. CC
37	30, 32, 36	addass 5324	. . 3 |- ((B + (F` M)) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)) = (B + ((F` M) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)))
38	28, 29, 37	3eqtr4 1505	. 2 |- (exp` A) = ((B + (F` M)) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k))
39		efsep.8	. . . 4 |- D = (B + C)
40		efsep.6	. . . . . 6 |- (F` M) = C
41	40	eqcomi 1479	. . . . 5 |- C = (F` M)
42	41	opreq2i 3972	. . . 4 |- (B + C) = (B + (F` M))
43	39, 42	eqtr 1495	. . 3 |- D = (B + (F` M))
44		efsep.7	. . . . 5 |- N = (M + 1)
45	44	fveq2i 3727	. . . 4 |- (ZZ>` N) = (ZZ>` (M + 1))
46	45	sumeq1i 6987	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)
47	43, 46	opreq12i 3973	. 2 |- (D + sum_k e. (ZZ>` N)(F` k)) = ((B + (F` M)) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k))
48	38, 47	eqtr4 1498	1 |- (exp` A) = (D + sum_k e. (ZZ>` N)(F` k))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   / cdiv 5294  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417   seq cseqz 6531  ^cexp 6568  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979  expce 7293

This theorem is referenced by:  ef4p 7399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain