HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem efper 8669
Description: The exponential function is periodic. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
efper |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> (exp` (A + ((i x. (2 x. pi)) x. K))) = (exp` A))
Proof of Theorem efper
StepHypRef Expression
1 efaddt 7309 . . 3 |- ((A e. CC /\ ((i x. (2 x. pi)) x. K) e. CC) -> (exp` (A + ((i x. (2 x. pi)) x. K))) = ((exp` A) x. (exp` ((i x. (2 x. pi)) x. K))))
2 zcnt 6087 . . . 4 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
3 axicn 5242 . . . . . 6 |- i e. CC
4 2re 5926 . . . . . . . 8 |- 2 e. RR
5 pire 8596 . . . . . . . 8 |- pi e. RR
64, 5remulcl 5307 . . . . . . 7 |- (2 x. pi) e. RR
76recn 5286 . . . . . 6 |- (2 x. pi) e. CC
83, 7mulcl 5293 . . . . 5 |- (i x. (2 x. pi)) e. CC
9 axmulcl 5245 . . . . 5 |- (((i x. (2 x. pi)) e. CC /\ K e. CC) -> ((i x. (2 x. pi)) x. K) e. CC)
108, 9mpan 693 . . . 4 |- (K e. CC -> ((i x. (2 x. pi)) x. K) e. CC)
112, 10syl 10 . . 3 |- (K e. ZZ -> ((i x. (2 x. pi)) x. K) e. CC)
121, 11sylan2 451 . 2 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> (exp` (A + ((i x. (2 x. pi)) x. K))) = ((exp` A) x. (exp` ((i x. (2 x. pi)) x. K))))
13 axmulcl 5245 . . . . . . 7 |- ((K e. CC /\ (2 x. pi) e. CC) -> (K x. (2 x. pi)) e. CC)
147, 13mpan2 694 . . . . . 6 |- (K e. CC -> (K x. (2 x. pi)) e. CC)
15 efivalt 7389 . . . . . 6 |- ((K x. (2 x. pi)) e. CC -> (exp` (i x. (K x. (2 x. pi)))) = ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))))
162, 14, 153syl 20 . . . . 5 |- (K e. ZZ -> (exp` (i x. (K x. (2 x. pi)))) = ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))))
17 mul12t 5390 . . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ K e. CC /\ (2 x. pi) e. CC) -> (i x. (K x. (2 x. pi))) = (K x. (i x. (2 x. pi))))
183, 7, 17mp3an13 904 . . . . . . . 8 |- (K e. CC -> (i x. (K x. (2 x. pi))) = (K x. (i x. (2 x. pi))))
19 axmulcom 5248 . . . . . . . . 9 |- ((K e. CC /\ (i x. (2 x. pi)) e. CC) -> (K x. (i x. (2 x. pi))) = ((i x. (2 x. pi)) x. K))
208, 19mpan2 694 . . . . . . . 8 |- (K e. CC -> (K x. (i x. (2 x. pi))) = ((i x. (2 x. pi)) x. K))
2118, 20eqtrd 1499 . . . . . . 7 |- (K e. CC -> (i x. (K x. (2 x. pi))) = ((i x. (2 x. pi)) x. K))
222, 21syl 10 . . . . . 6 |- (K e. ZZ -> (i x. (K x. (2 x. pi))) = ((i x. (2 x. pi)) x. K))
2322fveq2d 3713 . . . . 5 |- (K e. ZZ -> (exp` (i x. (K x. (2 x. pi)))) = (exp` ((i x. (2 x. pi)) x. K)))
24 cos2kpi 8608 . . . . . . 7 |- (K e. ZZ -> (cos` (K x. (2 x. pi))) = 1)
25 sin2kpi 8607 . . . . . . . . 9 |- (K e. ZZ -> (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0)
2625opreq2d 3961 . . . . . . . 8 |- (K e. ZZ -> (i x. (sin` (K x. (2 x. pi)))) = (i x. 0))
273mul01 5403 . . . . . . . 8 |- (i x. 0) = 0
2826, 27syl6eq 1515 . . . . . . 7 |- (K e. ZZ -> (i x. (sin` (K x. (2 x. pi)))) = 0)
2924, 28opreq12d 3963 . . . . . 6 |- (K e. ZZ -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + 0))
30 ax1cn 5241 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
3130addid1 5302 . . . . . 6 |- (1 + 0) = 1
3229, 31syl6eq 1515 . . . . 5 |- (K e. ZZ -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = 1)
3316, 23, 323eqtr3d 1507 . . . 4 |- (K e. ZZ -> (exp` ((i x. (2 x. pi)) x. K)) = 1)
3433opreq2d 3961 . . 3 |- (K e. ZZ -> ((exp` A) x. (exp` ((i x. (2 x. pi)) x. K))) = ((exp` A) x. 1))
35 efclt 7254 . . . 4 |- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)
36 mulid1t 5283 . . . 4 |- ((exp` A) e. CC -> ((exp` A) x. 1) = (exp` A))
3735, 36syl 10 . . 3 |- (A e. CC -> ((exp` A) x. 1) = (exp` A))
3834, 37sylan9eqr 1521 . 2 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> ((exp` A) x. (exp` ((i x. (2 x. pi)) x. K))) = (exp` A))
3912, 38eqtrd 1499 1 |- ((A e. CC /\ K e. ZZ) -> (exp` (A + ((i x. (2 x. pi)) x. K))) = (exp` A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211  ZZcz 5270  2c2 5908  expce 7235  sincsin 7237  cosccos 7238  picpi 7239
This theorem is referenced by:  pilog 8690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-7 5922  df-8 5923  df-9 5924  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-rp 6219  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-ioc 6299  df-ico 6300  df-icc 6301  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-cncf 7198  df-ef 7240  df-sin 7242  df-cos 7243  df-pi 7244  df-top 7534  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860
Copyright terms: Public domain