Theorem eflegeolem2 7414

Description: Lemma for eflegeo 7415.

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeolem2.1	|- A e. RR
eflegeolem2.2	|- (0 <_ A /\ A < 1)
eflegeolem2.3	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
eflegeolem2.4	|- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (A^j))}

Assertion

Ref	Expression
eflegeolem2	|- (exp` A) <_ (1 / (1 - A))

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem eflegeolem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 5317	. . . . 5 |- + e. V
2		nn0ex 6105	. . . . . 6 |- NN0 e. V
3		eflegeolem2.3	. . . . . 6 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
4	2, 3	fopabex2 3612	. . . . 5 |- F e. V
5	1, 4	seq0seqz 6542	. . . 4 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
6		eflegeolem2.1	. . . . . 6 |- A e. RR
7	6	recn 5314	. . . . 5 |- A e. CC
8	3	efcvg 7314	. . . . 5 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
10	5, 9	eqbrtrr 2636	. . 3 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
11		eflegeolem2.4	. . . . . 6 |- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (A^j))}
12	2, 11	fopabex2 3612	. . . . 5 |- G e. V
13	1, 12	seq0seqz 6542	. . . 4 |- ( + seq0 G) = (<.0, + >. seq G)
14		1re 5435	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
15	6, 14	abslt 6875	. . . . . 6 |- ((abs` A) < 1 <-> (-u1 < A /\ A < 1))
16		lt01 5680	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
17		lt0neg2t 5669	. . . . . . . . 9 |- (1 e. RR -> (0 < 1 <-> -u1 < 0))
18	14, 17	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0 < 1 <-> -u1 < 0)
19	16, 18	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -u1 < 0
20		eflegeolem2.2	. . . . . . . 8 |- (0 <_ A /\ A < 1)
21	20	pm3.26i 320	. . . . . . 7 |- 0 <_ A
22	14	renegcl 5416	. . . . . . . 8 |- -u1 e. RR
23		0re 5440	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
24	22, 23, 6	ltletr 5587	. . . . . . 7 |- ((-u1 < 0 /\ 0 <_ A) -> -u1 < A)
25	19, 21, 24	mp2an 697	. . . . . 6 |- -u1 < A
26	20	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- A < 1
27	15, 25, 26	mpbir2an 730	. . . . 5 |- (abs` A) < 1
28	11, 7, 27	geolimi 7236	. . . 4 |- ( + seq0 G) ~~> (1 / (1 - A))
29	13, 28	eqbrtrr 2636	. . 3 |- (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A))
30	10, 29	pm3.2i 285	. 2 |- ((<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A) /\ (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A)))
31		0z 6146	. . 3 |- 0 e. ZZ
32		elfznn0t 6496	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...n) -> k e. NN0)
33	3	eftval 7316	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
34		reeftclt 7374	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. RR)
35	6, 34	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. RR)
36	33, 35	eqeltrd 1548	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. RR)
37	32, 36	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> (F` k) e. RR)
38	37	rgen 1698	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)(F` k) e. RR
39	4	serzreclt 7050	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...n)(F` k) e. RR) -> ((<.0, + >. seq F)` n) e. RR)
40	38, 39	mpan2 696	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` 0) -> ((<.0, + >. seq F)` n) e. RR)
41		opreq2 3969	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> (A^j) = (A^k))
42		oprex 3983	. . . . . . . . . 10 |- (A^k) e. V
43	41, 11, 42	fvopab4 3780	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (G` k) = (A^k))
44		reexpclt 6580	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
45	6, 44	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. RR)
46	43, 45	eqeltrd 1548	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (G` k) e. RR)
47	32, 46	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> (G` k) e. RR)
48	47	rgen 1698	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)(G` k) e. RR
49	12	serzreclt 7050	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...n)(G` k) e. RR) -> ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR)
50	48, 49	mpan2 696	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` 0) -> ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR)
51	6, 21	eflegeolem1 7413	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) <_ (A^k))
52	51, 33, 43	3brtr4d 2645	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (F` k) <_ (G` k))
53	32, 52	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...n) -> (F` k) <_ (G` k))
54	37, 47, 53	3jca 819	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> ((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))
55	54	rgen 1698	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))
56	4, 12	serzcmp 7054	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...n)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
57	55, 56	mpan2 696	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` 0) -> ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
58	40, 50, 57	3jca 819	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` 0) -> (((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))
59	58	rgen 1698	. . 3 |- A.n e. (ZZ>` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
60	31, 59	pm3.2i 285	. 2 |- (0 e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))
61		oprex 3983	. . 3 |- (<.0, + >. seq F) e. V
62		oprex 3983	. . 3 |- (<.0, + >. seq G) e. V
63		fvex 3732	. . 3 |- (exp` A) e. V
64		oprex 3983	. . 3 |- (1 / (1 - A)) e. V
65	61, 62, 63, 64	climcmp 7138	. 2 |- ((((<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A) /\ (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A))) /\ (0 e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))) -> (exp` A) <_ (1 / (1 - A)))
66	30, 60, 65	mp2an 697	1 |- (exp` A) <_ (1 / (1 - A))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   - cmin 5292  -ucneg 5293   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NN0cn0 5297  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467   seq cseqz 6531   seq0 cseq0 6532  ^cexp 6568  abscabs 6750  !cfa 6931   ~~> cli 6974  expce 7293

This theorem is referenced by:  eflegeo 7415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain