Theorem efifolem7 8723

Description: Lemma for efifo 8724.

Assertion

Ref	Expression
efifolem7	|- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (i x. a)))

Distinct variable group:   Z,a

Proof of Theorem efifolem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 5447	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
2		0re 5452	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
3		lt01 5692	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
4	2, 1, 3	ltlei 5593	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
5	1, 4	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (1 e. RR /\ 0 <_ 1)
6		sq11t 6630	. . . . . . 7 |- ((((abs` Z) e. RR /\ 0 <_ (abs` Z)) /\ (1 e. RR /\ 0 <_ 1)) -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
7	5, 6	mpan2 698	. . . . . 6 |- (((abs` Z) e. RR /\ 0 <_ (abs` Z)) -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
8		absclt 6833	. . . . . 6 |- (Z e. CC -> (abs` Z) e. RR)
9		absge0t 6854	. . . . . 6 |- (Z e. CC -> 0 <_ (abs` Z))
10	7, 8, 9	sylanc 473	. . . . 5 |- (Z e. CC -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
11	10	biimpar 419	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> ((abs` Z)^2) = (1^2))
12		sq1 6638	. . . 4 |- (1^2) = 1
13	11, 12	syl6eq 1526	. . 3 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> ((abs` Z)^2) = 1)
14		efifolem6 8722	. . . . 5 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> ((Im` Z) = 0 -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
15		efifolem5 8721	. . . . 5 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> ((Im` Z) =/= 0 -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
16	14, 15	pm2.61dne 1638	. . . 4 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
17		reclt 6758	. . . . 5 |- (Z e. CC -> (Re` Z) e. RR)
18	17	adantr 391	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (Re` Z) e. RR)
19		imclt 6759	. . . . 5 |- (Z e. CC -> (Im` Z) e. RR)
20	19	adantr 391	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (Im` Z) e. RR)
21		absvalsq2t 6836	. . . . . 6 |- (Z e. CC -> ((abs` Z)^2) = (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)))
22	21	eqeq1d 1486	. . . . 5 |- (Z e. CC -> (((abs` Z)^2) = 1 <-> (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1))
23	22	biimpa 418	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1)
24	16, 18, 20, 23	syl3anc 860	. . 3 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
25	13, 24	syldan 469	. 2 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
26		replimt 6762	. . . . . . 7 |- (Z e. CC -> Z = ((Re` Z) + (i x. (Im` Z))))
27		recnt 5325	. . . . . . . 8 |- (a e. RR -> a e. CC)
28		efivalt 7447	. . . . . . . 8 |- (a e. CC -> (exp` (i x. a)) = ((cos` a) + (i x. (sin` a))))
29	27, 28	syl 10	. . . . . . 7 |- (a e. RR -> (exp` (i x. a)) = ((cos` a) + (i x. (sin` a))))
30	26, 29	eqeqan12d 1493	. . . . . 6 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (Z = (exp` (i x. a)) <-> ((Re` Z) + (i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (i x. (sin` a)))))
31		crut 6739	. . . . . . 7 |- ((((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR) /\ ((cos` a) e. RR /\ (sin` a) e. RR)) -> (((Re` Z) + (i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (i x. (sin` a))) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
32	17, 19	jca 288	. . . . . . 7 |- (Z e. CC -> ((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR))
33		recosclt 7439	. . . . . . . 8 |- (a e. RR -> (cos` a) e. RR)
34		resinclt 7438	. . . . . . . 8 |- (a e. RR -> (sin` a) e. RR)
35	33, 34	jca 288	. . . . . . 7 |- (a e. RR -> ((cos` a) e. RR /\ (sin` a) e. RR))
36	31, 32, 35	syl2an 456	. . . . . 6 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (((Re` Z) + (i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (i x. (sin` a))) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
37	30, 36	bitrd 530	. . . . 5 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (Z = (exp` (i x. a)) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
38		2re 5981	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
39		pire 8672	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
40	38, 39	remulcl 5347	. . . . . . . 8 |- (2 x. pi) e. RR
41		elico2t 6392	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (a e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi))))
42	2, 40, 41	mp2an 699	. . . . . . 7 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi)))
43	42	biimp 151	. . . . . 6 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi)))
44	43	3simp1d 796	. . . . 5 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> a e. RR)
45	37, 44	sylan2 453	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ a e. (0[,)(2 x. pi))) -> (Z = (exp` (i x. a)) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
46	45	rexbidva 1663	. . 3 |- (Z e. CC -> (E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (i x. a)) <-> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
47	46	adantr 391	. 2 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> (E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (i x. a)) <-> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
48	25, 47	mpbird 196	1 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (i x. a)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247  ici 5248   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  [,)cico 6360  ^cexp 6569  Recre 6748  Imcim 6749  abscabs 6751  expce 7293  sincsin 7295  cosccos 7296  picpi 7297

This theorem is referenced by:  efifo 8724  circgrp 8735

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499