Theorem efifolem1 8722

Description: Lemma for efifo 8729.

Hypothesis

Ref	Expression
efifolem1.1	|- C = sup({c e. (0[,]pi) | (cos` c) = if(U e. (-u1(,)1), U, 0)}, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
efifolem1	|- (U e. (-u1(,)1) -> E.x e. (0(,)pi)U = (cos` x))

Distinct variable groups:   x,C   U,c   x,U

Proof of Theorem efifolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 1484	. . . 4 |- (U = if(U e. (-u1(,)1), U, 0) -> ((cos` C) = U <-> (cos` C) = if(U e. (-u1(,)1), U, 0)))
2		0re 5440	. . . . . 6 |- 0 e. RR
3		pire 8677	. . . . . 6 |- pi e. RR
4		lt01 5680	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
5		1re 5435	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
6		lt0neg2t 5669	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 e. RR -> (0 < 1 <-> -u1 < 0))
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (0 < 1 <-> -u1 < 0)
8	4, 7	mpbi 189	. . . . . . . . . 10 |- -u1 < 0
9	5	renegcl 5416	. . . . . . . . . . . 12 |- -u1 e. RR
10		elioo2t 6379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-u1 e. RR* /\ 1 e. RR*) -> (0 e. (-u1(,)1) <-> (0 e. RR /\ -u1 < 0 /\ 0 < 1)))
11		rexrt 5499	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-u1 e. RR -> -u1 e. RR*)
12		rexrt 5499	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1 e. RR -> 1 e. RR*)
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-u1 e. RR /\ 1 e. RR) -> (0 e. (-u1(,)1) <-> (0 e. RR /\ -u1 < 0 /\ 0 < 1)))
14	9, 5, 13	mp2an 697	. . . . . . . . . . 11 |- (0 e. (-u1(,)1) <-> (0 e. RR /\ -u1 < 0 /\ 0 < 1))
15	14	biimpr 152	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ -u1 < 0 /\ 0 < 1) -> 0 e. (-u1(,)1))
16	2, 8, 4, 15	mp3an 916	. . . . . . . . 9 |- 0 e. (-u1(,)1)
17	16	elimel 2394	. . . . . . . 8 |- if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. (-u1(,)1)
18		elioo2t 6379	. . . . . . . . . 10 |- ((-u1 e. RR* /\ 1 e. RR*) -> (if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. (-u1(,)1) <-> (if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. RR /\ -u1 < if(U e. (-u1(,)1), U, 0) /\ if(U e. (-u1(,)1), U, 0) < 1)))
19	18, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . . . 9 |- ((-u1 e. RR /\ 1 e. RR) -> (if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. (-u1(,)1) <-> (if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. RR /\ -u1 < if(U e. (-u1(,)1), U, 0) /\ if(U e. (-u1(,)1), U, 0) < 1)))
20	9, 5, 19	mp2an 697	. . . . . . . 8 |- (if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. (-u1(,)1) <-> (if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. RR /\ -u1 < if(U e. (-u1(,)1), U, 0) /\ if(U e. (-u1(,)1), U, 0) < 1))
21	17, 20	mpbi 189	. . . . . . 7 |- (if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. RR /\ -u1 < if(U e. (-u1(,)1), U, 0) /\ if(U e. (-u1(,)1), U, 0) < 1)
22	21	3simp1i 791	. . . . . 6 |- if(U e. (-u1(,)1), U, 0) e. RR
23		pipos 8678	. . . . . 6 |- 0 < pi
24		iccssret 6396	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ pi e. RR) -> (0[,]pi) (_ RR)
25	2, 3, 24	mp2an 697	. . . . . . 7 |- (0[,]pi) (_ RR
26		axresscn 5268	. . . . . . 7 |- RR (_ CC
27	25, 26	sstri 2073	. . . . . 6 |- (0[,]pi) (_ CC
28		ssid 2080	. . . . . 6 |- CC (_ CC
29		coscn 8670	. . . . . 6 |- cos e. (CC-cn->CC)
30	25	sseli 2065	. . . . . . 7 |- (c e. (0[,]pi) -> c e. RR)
31		recosclt 7439	. . . . . . 7 |- (c e. RR -> (cos` c) e. RR)
32	30, 31	syl 10	. . . . . 6 |- (c e. (0[,]pi) -> (cos` c) e. RR)
33		eqid 1475	. . . . . 6 |- {c e. (0[,]pi) | (cos` c) = if(U e. (-u1(,)1), U, 0)} = {c e. (0[,]pi) | (cos` c) = if(U e. (-u1(,)1), U, 0)}
34		cospi 8682	. . . . . . . 8 |- (cos` pi) = -u1
35	21	3simp2i 792	. . . . . . . 8 |- -u1 < if(U e. (-u1(,)1), U, 0)
36	34, 35	eqbrtr 2634	. . . . . . 7 |- (cos` pi) < if(U e. (-u1(,)1), U, 0)
37	21	3simp3i 793	. . . . . . . 8 |- if(U e. (-u1(,)1), U, 0) < 1
38		cos0 7446	. . . . . . . 8 |- (cos` 0) = 1
39	37, 38	breqtrr 2640	. . . . . . 7 |- if(U e. (-u1(,)1), U, 0) < (cos` 0)
40	36, 39	pm3.2i 285	. . . . . 6 |- ((cos` pi) < if(U e. (-u1(,)1), U, 0) /\ if(U e. (-u1(,)1), U, 0) < (cos` 0))
41		efifolem1.1	. . . . . 6 |- C = sup({c e. (0[,]pi) | (cos` c) = if(U e. (-u1(,)1), U, 0)}, RR, < )
42	2, 3, 22, 23, 27, 28, 29, 32, 33, 40, 41	dsupivth 7292	. . . . 5 |- (C e. (0(,)pi) /\ (cos` C) = if(U e. (-u1(,)1), U, 0))
43	42	pm3.27i 324	. . . 4 |- (cos` C) = if(U e. (-u1(,)1), U, 0)
44	1, 43	dedth 2383	. . 3 |- (U e. (-u1(,)1) -> (cos` C) = U)
45	44	eqcomd 1480	. 2 |- (U e. (-u1(,)1) -> U = (cos` C))
46	42	pm3.26i 320	. . 3 |- C e. (0(,)pi)
47		fveq2 3724	. . . . 5 |- (x = C -> (cos` x) = (cos` C))
48	47	eqeq2d 1486	. . . 4 |- (x = C -> (U = (cos` x) <-> U = (cos` C)))
49	48	rcla4ev 1877	. . 3 |- ((C e. (0(,)pi) /\ U = (cos` C)) -> E.x e. (0(,)pi)U = (cos` x))
50	46, 49	mpan 695	. 2 |- (U = (cos` C) -> E.x e. (0(,)pi)U = (cos` x))
51	45, 50	syl 10	1 |- (U e. (-u1(,)1) -> E.x e. (0(,)pi)U = (cos` x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  ifcif 2361   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235  -ucneg 5293  RR*cxr 5485   < clt 5486  (,)cioo 6357  [,]cicc 6360  cosccos 7296  picpi 7297

This theorem is referenced by:  efifolem4 8725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-9 5977  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-ioc 6362  df-ico 6363  df-icc 6364  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain