Theorem efif1lem7 8731

Description: Lemma for efif1 8732.

Assertion

Ref	Expression
efif1lem7	|- ((A e. (0[,)(2 x. pi)) /\ B e. (0[,)(2 x. pi))) -> ((exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)) -> A = B))

Proof of Theorem efif1lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efif1lem3 8727	. . 3 |- ((A e. (0[,)pi) /\ B e. (0[,)pi)) -> ((exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)) -> A = B))
2		efif1lem6 8730	. . . . . 6 |- ((B e. (0[,)pi) /\ A e. (pi[,)(2 x. pi))) -> -. (exp` (i x. B)) = (exp` (i x. A)))
3	2	ancoms 438	. . . . 5 |- ((A e. (pi[,)(2 x. pi)) /\ B e. (0[,)pi)) -> -. (exp` (i x. B)) = (exp` (i x. A)))
4		eqcom 1480	. . . . . 6 |- ((exp` (i x. B)) = (exp` (i x. A)) <-> (exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)))
5	4	negbii 187	. . . . 5 |- (-. (exp` (i x. B)) = (exp` (i x. A)) <-> -. (exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)))
6	3, 5	sylib 198	. . . 4 |- ((A e. (pi[,)(2 x. pi)) /\ B e. (0[,)pi)) -> -. (exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)))
7	6	pm2.21d 78	. . 3 |- ((A e. (pi[,)(2 x. pi)) /\ B e. (0[,)pi)) -> ((exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)) -> A = B))
8		efif1lem6 8730	. . . 4 |- ((A e. (0[,)pi) /\ B e. (pi[,)(2 x. pi))) -> -. (exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)))
9	8	pm2.21d 78	. . 3 |- ((A e. (0[,)pi) /\ B e. (pi[,)(2 x. pi))) -> ((exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)) -> A = B))
10		efif1lem4 8728	. . 3 |- ((A e. (pi[,)(2 x. pi)) /\ B e. (pi[,)(2 x. pi))) -> ((exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)) -> A = B))
11	1, 7, 9, 10	ccase 757	. 2 |- (((A e. (0[,)pi) \/ A e. (pi[,)(2 x. pi))) /\ (B e. (0[,)pi) \/ B e. (pi[,)(2 x. pi)))) -> ((exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)) -> A = B))
12		0re 5452	. . . . . 6 |- 0 e. RR
13		pire 8672	. . . . . 6 |- pi e. RR
14		2re 5981	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
15	14, 13	remulcl 5347	. . . . . 6 |- (2 x. pi) e. RR
16	12, 13, 15	3pm3.2i 820	. . . . 5 |- (0 e. RR /\ pi e. RR /\ (2 x. pi) e. RR)
17		pipos 8673	. . . . . . 7 |- 0 < pi
18	12, 13, 17	ltlei 5593	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
19		1lt2 6030	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
20		ltmulgt12t 5849	. . . . . . . . 9 |- ((pi e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < pi) -> (1 < 2 <-> pi < (2 x. pi)))
21	13, 14, 17, 20	mp3an 918	. . . . . . . 8 |- (1 < 2 <-> pi < (2 x. pi))
22	19, 21	mpbi 189	. . . . . . 7 |- pi < (2 x. pi)
23	13, 15, 22	ltlei 5593	. . . . . 6 |- pi <_ (2 x. pi)
24	18, 23	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (0 <_ pi /\ pi <_ (2 x. pi))
25		icoun 6414	. . . . 5 |- (((0 e. RR /\ pi e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) /\ (0 <_ pi /\ pi <_ (2 x. pi))) -> ((0[,)pi) u. (pi[,)(2 x. pi))) = (0[,)(2 x. pi)))
26	16, 24, 25	mp2an 699	. . . 4 |- ((0[,)pi) u. (pi[,)(2 x. pi))) = (0[,)(2 x. pi))
27	26	eleq2i 1541	. . 3 |- (A e. ((0[,)pi) u. (pi[,)(2 x. pi))) <-> A e. (0[,)(2 x. pi)))
28		elun 2176	. . 3 |- (A e. ((0[,)pi) u. (pi[,)(2 x. pi))) <-> (A e. (0[,)pi) \/ A e. (pi[,)(2 x. pi))))
29	27, 28	bitr3 175	. 2 |- (A e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (A e. (0[,)pi) \/ A e. (pi[,)(2 x. pi))))
30	26	eleq2i 1541	. . 3 |- (B e. ((0[,)pi) u. (pi[,)(2 x. pi))) <-> B e. (0[,)(2 x. pi)))
31		elun 2176	. . 3 |- (B e. ((0[,)pi) u. (pi[,)(2 x. pi))) <-> (B e. (0[,)pi) \/ B e. (pi[,)(2 x. pi))))
32	30, 31	bitr3 175	. 2 |- (B e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (B e. (0[,)pi) \/ B e. (pi[,)(2 x. pi))))
33	11, 29, 32	syl2anb 457	1 |- ((A e. (0[,)(2 x. pi)) /\ B e. (0[,)(2 x. pi))) -> ((exp` (i x. A)) = (exp` (i x. B)) -> A = B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   u. cun 2048   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247  ici 5248   x. cmul 5251   <_ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  [,)cico 6360  expce 7293  picpi 7297

This theorem is referenced by:  efif1 8732

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

Copyright terms: Public domain