Theorem efif1lem2 8726

Description: Lemma for efif1 8732.

Assertion

Ref	Expression
efif1lem2	|- (A e. (pi[,)(2 x. pi)) -> (A - pi) e. (0[,)pi))

Proof of Theorem efif1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 8672	. . . . 5 |- pi e. RR
2		resubclt 5450	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ pi e. RR) -> (A - pi) e. RR)
3	1, 2	mpan2 698	. . . 4 |- (A e. RR -> (A - pi) e. RR)
4	3	3ad2ant1 802	. . 3 |- ((A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)) -> (A - pi) e. RR)
5		subge0t 5686	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ pi e. RR) -> (0 <_ (A - pi) <-> pi <_ A))
6	1, 5	mpan2 698	. . . . 5 |- (A e. RR -> (0 <_ (A - pi) <-> pi <_ A))
7	6	biimpar 419	. . . 4 |- ((A e. RR /\ pi <_ A) -> 0 <_ (A - pi))
8	7	3adant3 801	. . 3 |- ((A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)) -> 0 <_ (A - pi))
9		ltsubaddt 5639	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ pi e. RR /\ pi e. RR) -> ((A - pi) < pi <-> A < (pi + pi)))
10	1, 1, 9	mp3an23 910	. . . . . 6 |- (A e. RR -> ((A - pi) < pi <-> A < (pi + pi)))
11	1	recn 5326	. . . . . . . 8 |- pi e. CC
12	11	2times 6005	. . . . . . 7 |- (2 x. pi) = (pi + pi)
13	12	breq2i 2632	. . . . . 6 |- (A < (2 x. pi) <-> A < (pi + pi))
14	10, 13	syl6bbr 540	. . . . 5 |- (A e. RR -> ((A - pi) < pi <-> A < (2 x. pi)))
15	14	biimpar 419	. . . 4 |- ((A e. RR /\ A < (2 x. pi)) -> (A - pi) < pi)
16	15	3adant2 800	. . 3 |- ((A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)) -> (A - pi) < pi)
17	4, 8, 16	3jca 821	. 2 |- ((A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)) -> ((A - pi) e. RR /\ 0 <_ (A - pi) /\ (A - pi) < pi))
18		2re 5981	. . . 4 |- 2 e. RR
19	18, 1	remulcl 5347	. . 3 |- (2 x. pi) e. RR
20		elico2t 6392	. . 3 |- ((pi e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (A e. (pi[,)(2 x. pi)) <-> (A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi))))
21	1, 19, 20	mp2an 699	. 2 |- (A e. (pi[,)(2 x. pi)) <-> (A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)))
22		0re 5452	. . 3 |- 0 e. RR
23		elico2t 6392	. . 3 |- ((0 e. RR /\ pi e. RR) -> ((A - pi) e. (0[,)pi) <-> ((A - pi) e. RR /\ 0 <_ (A - pi) /\ (A - pi) < pi)))
24	22, 1, 23	mp2an 699	. 2 |- ((A - pi) e. (0[,)pi) <-> ((A - pi) e. RR /\ 0 <_ (A - pi) /\ (A - pi) < pi))
25	17, 21, 24	3imtr4 219	1 |- (A e. (pi[,)(2 x. pi)) -> (A - pi) e. (0[,)pi))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 777   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   - cmin 5304   <_ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  [,)cico 6360  picpi 7297

This theorem is referenced by:  efif1lem4 8728

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

Copyright terms: Public domain