Theorem efeult 7408

Description: Eulerian representation of the complex exponential. (Suggested by Jeffrey Hankins, 3-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efeult	|- (A e. CC -> (exp` A) = ((exp` (Re` A)) x. ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A))))))

Proof of Theorem efeult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replimtOLD 6708	. . . 4 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + ((Im` A) x. i)))
2		imclt 6704	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
3	2	recnd 5298	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
4		axicn 5253	. . . . . . 7 |- i e. CC
5		axmulcom 5259	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) = ((Im` A) x. i))
6	4, 5	mpan 694	. . . . . 6 |- ((Im` A) e. CC -> (i x. (Im` A)) = ((Im` A) x. i))
7	3, 6	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) = ((Im` A) x. i))
8	7	opreq2d 3971	. . . 4 |- (A e. CC -> ((Re` A) + (i x. (Im` A))) = ((Re` A) + ((Im` A) x. i)))
9	1, 8	eqtr4d 1508	. . 3 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))))
10	9	fveq2d 3723	. 2 |- (A e. CC -> (exp` A) = (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))))
11		efaddt 7326	. . 3 |- (((Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
12		reclt 6703	. . . 4 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
13	12	recnd 5298	. . 3 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
14		axmulcl 5256	. . . . 5 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) e. CC)
15	4, 14	mpan 694	. . . 4 |- ((Im` A) e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
16	3, 15	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
17	11, 13, 16	sylanc 471	. 2 |- (A e. CC -> (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
18		efivalt 7406	. . . 4 |- ((Im` A) e. CC -> (exp` (i x. (Im` A))) = ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A)))))
19	3, 18	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> (exp` (i x. (Im` A))) = ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A)))))
20	19	opreq2d 3971	. 2 |- (A e. CC -> ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A))))))
21	10, 17, 20	3eqtrd 1509	1 |- (A e. CC -> (exp` A) = ((exp` (Re` A)) x. ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A))))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  ici 5219   + caddc 5220   x. cmul 5222  Recre 6693  Imcim 6694  expce 7252  sincsin 7254  cosccos 7255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-seq0 6479  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-fac 6884  df-bc 6909  df-clim 6928  df-sum 6933  df-ef 7257  df-sin 7259  df-cos 7260

Copyright terms: Public domain