Theorem efclt 7312

Description: Closure law for the exponential function.

Assertion

Ref	Expression
efclt	|- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)

Proof of Theorem efclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efvalt 7308	. 2 |- (A e. CC -> (exp` A) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)))
2		nn0uz 6439	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = (ZZ>` 0)
3	2	eqcomi 1482	. . . . . . . . 9 |- (ZZ>` 0) = NN0
4	3	eleq2i 1541	. . . . . . . 8 |- (j e. (ZZ>` 0) <-> j e. NN0)
5	4	anbi1i 483	. . . . . . 7 |- ((j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j))) <-> (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j))))
6	5	opabbii 2676	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
7	6	efseq0ex 7311	. . . . 5 |- (A e. CC -> E.x( + seq0 {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x)
8		addex 5329	. . . . . . . 8 |- + e. V
9		fvex 3738	. . . . . . . . 9 |- (ZZ>` 0) e. V
10	9	opabex2 3616	. . . . . . . 8 |- {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))} e. V
11	8, 10	seq0seqz 6543	. . . . . . 7 |- ( + seq0 {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) = (<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))})
12	11	breq1i 2631	. . . . . 6 |- (( + seq0 {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x <-> (<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x)
13	12	exbii 1053	. . . . 5 |- (E.x( + seq0 {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x <-> E.x(<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x)
14	7, 13	sylib 198	. . . 4 |- (A e. CC -> E.x(<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x)
15		0z 6148	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
16	10	isumclt 7209	. . . . 5 |- ((0 e. ZZ /\ E.x(<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
17	15, 16	mpan 697	. . . 4 |- (E.x(<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
18	14, 17	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> sum_k e. (ZZ>` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
19	2	sumeq1i 6987	. . . 4 |- sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)) = sum_k e. (ZZ>` 0)((A^k) / (!` k))
20		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (j = k -> (A^j) = (A^k))
21		fveq2 3730	. . . . . . 7 |- (j = k -> (!` j) = (!` k))
22	20, 21	opreq12d 3984	. . . . . 6 |- (j = k -> ((A^j) / (!` j)) = ((A^k) / (!` k)))
23		eqid 1478	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
24		oprex 3989	. . . . . 6 |- ((A^k) / (!` k)) e. V
25	22, 23, 24	fvopab4 3786	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` 0) -> ({<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) = ((A^k) / (!` k)))
26	25	sumeq2i 6988	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) = sum_k e. (ZZ>` 0)((A^k) / (!` k))
27	19, 26	eqtr4 1501	. . 3 |- sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)) = sum_k e. (ZZ>` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)
28	18, 27	syl5eqel 1555	. 2 |- (A e. CC -> sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)) e. CC)
29	1, 28	eqeltrd 1551	1 |- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   + caddc 5249   / cdiv 5306  NN0cn0 5309  ZZcz 5310  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532   seq0 cseq0 6533  ^cexp 6569  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979  expce 7293

This theorem is referenced by:  eff 7313  efaddlem27 7364  efne0t 7369  eff2 7370  efsubt 7371  efexpt 7372  ef4p 7399  efcnlem2 7420  efcn 7423  reeff1o 7426  sinclt 7431  cosclt 7432  resinvalt 7433  recosvalt 7434  resinclt 7438  recosclt 7439  sinnegt 7442  cosnegt 7443  efivalt 7447  abseft 7484  efghgrpilem 8714  efif 8716  efif1lem4 8728  efielcirc 8734  eff1i 8739  efper 8742  pilog 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain