Theorem efaddlem3 7299

Description: Lemma for efadd 7325. Closure of the right-hand summation of efaddlem6 7302.

Hypotheses

Ref	Expression
efaddlem3.1	|- N e. NN
efaddlem3.2	|- A e. CC
efaddlem3.3	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
efaddlem3	|- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC

Distinct variable group:   j,k,N

Proof of Theorem efaddlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efaddlem3.1	. . 3 |- N e. NN
2		nnuz 6384	. . 3 |- NN = (ZZ>` 1)
3	1, 2	eleqtr 1544	. 2 |- N e. (ZZ>` 1)
4		fsumclt 6968	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
5	1	efaddlem1 7297	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)))
6		divclt 5691	. . . . . . . 8 |- ((((A^j) x. (B^k)) e. CC /\ ((!` j) x. (!` k)) e. CC /\ ((!` j) x. (!` k)) =/= 0) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
7		axmulcl 5256	. . . . . . . . 9 |- (((A^j) e. CC /\ (B^k) e. CC) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
8		efaddlem3.2	. . . . . . . . . 10 |- A e. CC
9		expclt 6526	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> (A^j) e. CC)
10	8, 9	mpan 694	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN0 -> (A^j) e. CC)
11		efaddlem3.3	. . . . . . . . . 10 |- B e. CC
12		expclt 6526	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ k e. NN0) -> (B^k) e. CC)
13	11, 12	mpan 694	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (B^k) e. CC)
14	7, 10, 13	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
15		nnmulclt 5899	. . . . . . . . . 10 |- (((!` j) e. NN /\ (!` k) e. NN) -> ((!` j) x. (!` k)) e. NN)
16		facclt 6892	. . . . . . . . . 10 |- (j e. NN0 -> (!` j) e. NN)
17		facclt 6892	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
18	15, 16, 17	syl2an 454	. . . . . . . . 9 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) e. NN)
19		nncnt 5888	. . . . . . . . 9 |- (((!` j) x. (!` k)) e. NN -> ((!` j) x. (!` k)) e. CC)
20	18, 19	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) e. CC)
21		nnne0t 5907	. . . . . . . . 9 |- (((!` j) x. (!` k)) e. NN -> ((!` j) x. (!` k)) =/= 0)
22	18, 21	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) =/= 0)
23	6, 14, 20, 22	syl3anc 857	. . . . . . 7 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
24		nnnn0t 6063	. . . . . . 7 |- (j e. NN -> j e. NN0)
25		nnnn0t 6063	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. NN0)
26	23, 24, 25	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
27		elfznnt 6439	. . . . . . 7 |- (j e. (1...N) -> j e. NN)
28	27	adantr 389	. . . . . 6 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> j e. NN)
29	1	efaddlem2 7298	. . . . . 6 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> k e. NN)
30	26, 28, 29	sylanc 471	. . . . 5 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
31	30	r19.21aiva 1712	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> A.k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
32	4, 5, 31	sylanc 471	. . 3 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
33	32	rgen 1696	. 2 |- A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC
34		fsumclt 6968	. 2 |- ((N e. (ZZ>` 1) /\ A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC) -> sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
35	3, 33, 34	mp2an 696	1 |- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 957   =/= wne 1583  A.wral 1643  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275   / cdiv 5277  NNcn 5279  NN0cn0 5280  ZZ>cuz 6362  ...cfz 6412  ^cexp 6513  !cfa 6883  sum_csu 6932

This theorem is referenced by:  efaddlem4 7300  efaddlem6 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-fac 6884  df-sum 6933

Copyright terms: Public domain