Theorem efaddlem21 7358

Description: Lemma for efadd 7366. R will be part of our final upper bound for the summation on the right-hand side of efaddlem6 7343; importantly, R is independent of N.

Hypotheses

Ref	Expression
efaddlem21.1	|- A e. CC
efaddlem21.2	|- B e. CC
efaddlem21.3	|- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)
efaddlem21.4	|- R = (2 x. ((2^(3^2)) x. ((4 x. T)^((4 x. T) + 3))))

Assertion

Ref	Expression
efaddlem21	|- R e. NN

Proof of Theorem efaddlem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efaddlem21.4	. 2 |- R = (2 x. ((2^(3^2)) x. ((4 x. T)^((4 x. T) + 3))))
2		2nn 5999	. . 3 |- 2 e. NN
3		3nn 6000	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
4	3	nnsqcl 6660	. . . . . 6 |- (3^2) e. NN
5	4	nnnn0 6107	. . . . 5 |- (3^2) e. NN0
6		nnexpclt 6576	. . . . 5 |- ((2 e. NN /\ (3^2) e. NN0) -> (2^(3^2)) e. NN)
7	2, 5, 6	mp2an 697	. . . 4 |- (2^(3^2)) e. NN
8		4nn 6002	. . . . . 6 |- 4 e. NN
9		efaddlem21.1	. . . . . . 7 |- A e. CC
10		efaddlem21.2	. . . . . . 7 |- B e. CC
11		efaddlem21.3	. . . . . . 7 |- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)
12	9, 10, 11	efaddlem7 7344	. . . . . 6 |- T e. NN
13		nnmulclt 5941	. . . . . 6 |- ((4 e. NN /\ T e. NN) -> (4 x. T) e. NN)
14	8, 12, 13	mp2an 697	. . . . 5 |- (4 x. T) e. NN
15	14	nnnn0 6107	. . . . . 6 |- (4 x. T) e. NN0
16	3	nnnn0 6107	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
17	15, 16	nn0addcl 6121	. . . . 5 |- ((4 x. T) + 3) e. NN0
18		nnexpclt 6576	. . . . 5 |- (((4 x. T) e. NN /\ ((4 x. T) + 3) e. NN0) -> ((4 x. T)^((4 x. T) + 3)) e. NN)
19	14, 17, 18	mp2an 697	. . . 4 |- ((4 x. T)^((4 x. T) + 3)) e. NN
20		nnmulclt 5941	. . . 4 |- (((2^(3^2)) e. NN /\ ((4 x. T)^((4 x. T) + 3)) e. NN) -> ((2^(3^2)) x. ((4 x. T)^((4 x. T) + 3))) e. NN)
21	7, 19, 20	mp2an 697	. . 3 |- ((2^(3^2)) x. ((4 x. T)^((4 x. T) + 3))) e. NN
22		nnmulclt 5941	. . 3 |- ((2 e. NN /\ ((2^(3^2)) x. ((4 x. T)^((4 x. T) + 3))) e. NN) -> (2 x. ((2^(3^2)) x. ((4 x. T)^((4 x. T) + 3)))) e. NN)
23	2, 21, 22	mp2an 697	. 2 |- (2 x. ((2^(3^2)) x. ((4 x. T)^((4 x. T) + 3)))) e. NN
24	1, 23	eqeltr 1544	1 |- R e. NN

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  NNcn 5296  NN0cn0 5297  2c2 5961  3c3 5962  4c4 5963  |_cfl 6223  ^cexp 6568  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  efaddlem22 7359  efaddlem23 7360  efaddlem25 7362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain