Theorem efaddlem13 7292

Description: Lemma for efadd 7308. Combine the bounds of efaddlem11 7290 and efaddlem12 7291.

Hypotheses

Ref	Expression
efaddlem12.1	|- N e. NN
efaddlem12.2	|- A e. CC
efaddlem12.3	|- B e. CC
efaddlem12.4	|- S = (|_` ((N + 1) / 2))
efaddlem12.5	|- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)

Assertion

Ref	Expression
efaddlem13	|- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) <_ (T^S))

Proof of Theorem efaddlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efaddlem12.1	. . . 4 |- N e. NN
2	1	efaddlem9 7288	. . 3 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> ((j e. NN0 /\ j <_ N) /\ (k e. NN0 /\ k <_ N)))
3		axmulcl 5245	. . . . 5 |- (((A^j) e. CC /\ (B^k) e. CC) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
4		efaddlem12.2	. . . . . 6 |- A e. CC
5		expclt 6513	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> (A^j) e. CC)
6	4, 5	mpan 693	. . . . 5 |- (j e. NN0 -> (A^j) e. CC)
7		efaddlem12.3	. . . . . 6 |- B e. CC
8		expclt 6513	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ k e. NN0) -> (B^k) e. CC)
9	7, 8	mpan 693	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (B^k) e. CC)
10	3, 6, 9	syl2an 454	. . . 4 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
11	10	ad2ant2r 409	. . 3 |- (((j e. NN0 /\ j <_ N) /\ (k e. NN0 /\ k <_ N)) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
12		absclt 6768	. . 3 |- (((A^j) x. (B^k)) e. CC -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) e. RR)
13	2, 11, 12	3syl 20	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) e. RR)
14	4	abscl 6774	. . . . . . . 8 |- (abs` A) e. RR
15		1re 5407	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
16	14, 15	readdcl 5306	. . . . . . 7 |- ((abs` A) + 1) e. RR
17		flclt 6174	. . . . . . 7 |- (((abs` A) + 1) e. RR -> (|_` ((abs` A) + 1)) e. ZZ)
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (|_` ((abs` A) + 1)) e. ZZ
19	18	zre 6088	. . . . 5 |- (|_` ((abs` A) + 1)) e. RR
20	1	nnnn0 6054	. . . . 5 |- N e. NN0
21		reexpclt 6512	. . . . 5 |- (((|_` ((abs` A) + 1)) e. RR /\ N e. NN0) -> ((|_` ((abs` A) + 1))^N) e. RR)
22	19, 20, 21	mp2an 695	. . . 4 |- ((|_` ((abs` A) + 1))^N) e. RR
23	7	abscl 6774	. . . . . . . 8 |- (abs` B) e. RR
24	23, 15	readdcl 5306	. . . . . . 7 |- ((abs` B) + 1) e. RR
25		flclt 6174	. . . . . . 7 |- (((abs` B) + 1) e. RR -> (|_` ((abs` B) + 1)) e. ZZ)
26	24, 25	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (|_` ((abs` B) + 1)) e. ZZ
27	26	zre 6088	. . . . 5 |- (|_` ((abs` B) + 1)) e. RR
28		reexpclt 6512	. . . . 5 |- (((|_` ((abs` B) + 1)) e. RR /\ N e. NN0) -> ((|_` ((abs` B) + 1))^N) e. RR)
29	27, 20, 28	mp2an 695	. . . 4 |- ((|_` ((abs` B) + 1))^N) e. RR
30	22, 29	remulcl 5307	. . 3 |- (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)) e. RR
31	30	a1i 8	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)) e. RR)
32		efaddlem12.5	. . . . . 6 |- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)
33	4, 7, 32	efaddlem7 7286	. . . . 5 |- T e. NN
34	33	nnre 5879	. . . 4 |- T e. RR
35		efaddlem12.4	. . . . . 6 |- S = (|_` ((N + 1) / 2))
36	1, 35	efaddlem8 7287	. . . . 5 |- S e. NN
37	36	nnnn0 6054	. . . 4 |- S e. NN0
38		reexpclt 6512	. . . 4 |- ((T e. RR /\ S e. NN0) -> (T^S) e. RR)
39	34, 37, 38	mp2an 695	. . 3 |- (T^S) e. RR
40	39	a1i 8	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (T^S) e. RR)
41	1, 4, 7	efaddlem11 7290	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) <_ (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)))
42	1, 4, 7, 35, 32	efaddlem12 7291	. . 3 |- (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)) <_ (T^S)
43	42	a1i 8	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)) <_ (T^S))
44	13, 31, 40, 41, 43	letrd 5499	1 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) <_ (T^S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268  NN0cn0 5269  ZZcz 5270  2c2 5908  |_cfl 6171  ...cfz 6399  ^cexp 6500  abscabs 6681

This theorem is referenced by:  efaddlem17 7296

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-fz 6400  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685

Copyright terms: Public domain