Theorem ef1tlub 7382

Description: An upper bound on the infinite tail of the series expansion of the exponential function at 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef1tllem.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
ef1tlub	|- ((M e. NN /\ A = 1) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M)))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   j,M,k,y

Proof of Theorem ef1tlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . . 4 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (ZZ>` M) = (ZZ>` if(M e. NN, M, 1)))
2	1	sumeq1d 6990	. . 3 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` if(M e. NN, M, 1))(F` k))
3		opreq1 3968	. . . 4 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (M + 1) = (if(M e. NN, M, 1) + 1))
4		fveq2 3724	. . . . 5 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (!` M) = (!` if(M e. NN, M, 1)))
5		id 59	. . . . 5 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> M = if(M e. NN, M, 1))
6	4, 5	opreq12d 3978	. . . 4 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> ((!` M) x. M) = ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1)))
7	3, 6	opreq12d 3978	. . 3 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> ((M + 1) / ((!` M) x. M)) = ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1))))
8	2, 7	breq12d 2631	. 2 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M)) <-> sum_k e. (ZZ>` if(M e. NN, M, 1))(F` k) <_ ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1)))))
9		opreq1 3968	. . . . . . . . . 10 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> (A^j) = (if(A = 1, A, 1)^j))
10	9	opreq1d 3975	. . . . . . . . 9 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> ((A^j) / (!` j)) = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))
11	10	eqeq2d 1486	. . . . . . . 8 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> (y = ((A^j) / (!` j)) <-> y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j))))
12	11	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> ((j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j))) <-> (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))))
13	12	opabbidv 2670	. . . . . 6 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))})
14		ef1tllem.1	. . . . . 6 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
15	13, 14	syl5eq 1519	. . . . 5 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))})
16	15	fveq1d 3726	. . . 4 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> (F` k) = ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))}` k))
17	16	sumeq2sdv 6993	. . 3 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> sum_k e. (ZZ>` if(M e. NN, M, 1))(F` k) = sum_k e. (ZZ>` if(M e. NN, M, 1))({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))}` k))
18	17	breq1d 2629	. 2 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> (sum_k e. (ZZ>` if(M e. NN, M, 1))(F` k) <_ ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1))) <-> sum_k e. (ZZ>` if(M e. NN, M, 1))({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))}` k) <_ ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1)))))
19		eqid 1475	. . 3 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))}
20		eqid 1475	. . 3 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1 / (if(M e. NN, M, 1) + 1))^j))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1 / (if(M e. NN, M, 1) + 1))^j))}
21		eqid 1475	. . 3 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1 / (!` if(M e. NN, M, 1))) x. ((1 / (if(M e. NN, M, 1) + 1))^j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1 / (!` if(M e. NN, M, 1))) x. ((1 / (if(M e. NN, M, 1) + 1))^j)))}
22		eqid 1475	. . 3 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (1 / (!` (if(M e. NN, M, 1) + j))))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (1 / (!` (if(M e. NN, M, 1) + j))))}
23		1nn 5934	. . . 4 |- 1 e. NN
24	23	elimel 2394	. . 3 |- if(M e. NN, M, 1) e. NN
25		eqeq1 1481	. . . 4 |- (A = if(A = 1, A, 1) -> (A = 1 <-> if(A = 1, A, 1) = 1))
26		eqeq1 1481	. . . 4 |- (1 = if(A = 1, A, 1) -> (1 = 1 <-> if(A = 1, A, 1) = 1))
27		eqid 1475	. . . 4 |- 1 = 1
28	25, 26, 27	elimhyp 2390	. . 3 |- if(A = 1, A, 1) = 1
29	19, 20, 21, 22, 24, 28	ef1tllem 7381	. 2 |- sum_k e. (ZZ>` if(M e. NN, M, 1))({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A = 1, A, 1)^j) / (!` j)))}` k) <_ ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1)))
30	8, 18, 29	dedth2h 2387	1 |- ((M e. NN /\ A = 1) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361   class class class wbr 2619  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZ>cuz 6417  ^cexp 6568  !cfa 6931  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  eirrlem3 7391

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r</